(2024-juny-3-6) Considereu els punts `A = (1, 2, 3)` i `B = (–3, –2, 3)`. a) Calculeu l’equació del pla `pi` que és perpendicular a la recta `AB` i que passa pel punt mitjà entre `A` i `B`. Justifiqueu que aquest pla està format, precisament, pels punts `P = (x, y, z)` que estan a igual distància de `A` que de `B`, és a dir, `d(P, A) = d(P, B)`. [1 punt] b) Calculeu les distàncies de `A` i de `B` al pla `P` i comproveu que són iguals. És casualitat? Raoneu la resposta. [0,75 punts] c) Sigui `C = (–7, 6, 3)`. El triangle `ABC` és isòsceles? Calculeu la seva àrea. [0,75 punts] Solució: a) El pla és el que passa pel punt mig i té com a vector associat el perpendicular, que és el vector `\vec{BA}` Punt mig `p=\frac{(1-3, 2-2 ,3+3)}{2}=(-1,0,3)` Vector `\vec{BA}=(1,2,3)-(-3,-2,3)=(4,4,0)` Per la qual cosa l'equació del pla és `4x+4y+D=0` I com sabem que ha de passar pel punt, `(-1,0,3) =>` `4·(-1)+4·0+D=0` `-4+D=0` `D=4` `4x+4y+4=0` o bé `x+y+1=0` Els punts `(x,y,z)` que estan a igual distància de `A` i `B` són: `\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}=\sqrt{(x+3)^2+(y+2)^2+(z-3)^2}` `x^2-2x+1+y^2-4y+4+z^2-6z+9=x^2+6x+9+y^2+4y+4+z^2-6z+9` `-2x+1-4y+4-6z+9=6x+9+4y+4-6z+9` `0=6x+9+4y+4-6z+9+2x-1+4y-4+6z-9` `0=8x+8y+8` `x+y+1=0` Ens surt la mateixa equació. b) Per trobar la distància d'un punt a un pla farem servir la fórmula: `d(P,p)= |(Ap_1+Bp_2+Cp_3+D)|/\sqrt{A^2+B^2+C^2}` `d(P,A)= |1+2+1|/\sqrt{1^2+1^2}=4/\sqrt{2}` `d(P,B)= |-3-2+1|/\sqrt{1^2+1^2}=4/\sqrt{2}` La distància d'un punt a un pla la definim com el mòdul del vector que va del punt a la seva projecció en el pla que, en el nostre cas, és el punt mitjà entre `A` i `B`. que, evidentment, les distàncies d'`A` a `B` al punt mitjà, per definició de punt mitjà, són iguals. c) `A = (1, 2, 3)`, `B = (–3, –2, 3)`, `C = (–7, 6, 3)` `\vec{AB}=(-4,-4,0)` `\vec{BC}=(-4,8,0)` `\vec{AC}=(-8,4,0)` `|\vec{BC}|=\sqrt{(-4)^2+8^2}=\sqrt{80}` `|\vec{AC}|=\sqrt{(-8)^2+4^2}=\sqrt{80}` És isòscel·les, ja que la llargada de dos costats són iguals (mòduls dels dos vectors) Per trobar l'area del triangle recordem que és pot calcular calculant el mòdul del producte vectorial de dos dels seus vectors dividit per `2`. Àrea `= |\vec{AB} \times \vec{AC}|/2` $$ \begin{vmatrix} i&j&k\\\ -4&-4&0\\\ -8&4&0 \end{vmatrix}=(0,0,-48) $$ Àrea `=48/2=24` `u^2`