1-(2019-juny-1-3)Un dron es troba en el punt `P = (2, -3, 1)` i volem dirigir-lo en línia recta fins al punt més proper del pla d'equació `pi : 3x + 4z + 15 = 0`.
a) Calculeu l'equació de la recta, en forma paramètrica, que ha de seguir el dron. Quina distància ha de recórrer fins a arribar al pla?
b) Trobeu les coordenades del punt del pla on arribarà el dron.
Nota: Podeu calcular la distància que hi ha d'un punt de coordenades `(x_0, y_0, z_0)` al pla d'equació `Ax + By + Cz + D = 0` amb l'expressió `|Ax_0+By_0+Cz_0+D|/sqrt(A^2+B^2+C^2)`
`a_1)` La recta ha de passar pel punt, `P = (2, -3, 1)` i com a vector director podem agafar l'associat al pla, `(3,4,15)`, que és perpendicular al pla.
Equació vectorial: `r:(x,y,z)=(2,-3,1)+(3,0,4)t`
Equacions paramètriques:
$$
r:\begin{cases} x=2+3t\\
y=-3\\
z=1+4t \end{cases}
$$
`a_2)` Distància:
| `d=|3·2 + (-3)·0 + 4·1 + 15|/sqrt(3^2+0^2+4^2)=25/5=5 u` | |
b) Cal resoldre el sistema format per l'equació de la recta i el pla. Per fer-ho podem substituir l'equació paramètrica de la recta en l'equació del pla i trobar el valor de `t`.
`pi : 3x + 4z + 15 = 0`
`r:(x,y,z)=(2+3t,-3,1+4t)`
`3(2+3t)+4(1+4t)+15=0`
`6+9t+4+16t+15=0`
`25t=-25`
`t=(-25)/25=-1`
`(2+3(-1),-3,1+4(-1))`
|