5-(2020-juny-1-3) a) Calculeu l'equació general del pla `pi` que passa pel punt `(8, 8, 8)` i té com a vectors directors `u = (1, 2, -3)` i `v = (-1, 0, 3)`. b) Determineu el valor del paràmetre `a` perquè el punt `(1, -5, a)` pertanyi al pla `pi` i cal­culeu l'equació paramètrica de la recta que passa per aquest punt i és perpendicular al pla `pi`. a) Per trobar l'equació de la recta buscarem un vector associat. Com és un vector perpendicular el que farem és calcular el producte vectorial entre els vectors directors. $$ \begin{vmatrix} i & j & k\\\ 1 & 2 & -3\\\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix}=6i+3j-(-2k+3j)=6i+2k=(6,0,2) $$ Equació del pla, `6x+2z+c=0` i ha de passar pel punt `(8,8,8)` `6·8+2·8+C=0 => 64+C=0 => C=-64` `6x+2z-64=0` També es pot fer calculant el determinant: $$ \begin{vmatrix} x-8 & y-8 & z-8\\\ 1 & 2 & -3\\\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix}=0 $$ `b_1)` Subtituïm el punt `(1,-5,a)` en en l'equació del pla, `6x+2z-64=0`. `6·1+2·a-64=0 => 2a=58 =>` `a=29` `=> (1,-5,29)` `b_2)` La recta passa pel punt `(1,-5,29)` i té com a vector director l'associat al pla, `(6,0,2)`, podem simplificar-lo, `(3,0,1)`. Equació vectorial, `r:(x,y,z)=(1,-5,29)+(3,0,1)t` Equacions paramètriques: $$r:\begin{cases} x=1+3t\\ y=-5\\ z=29+t \end{cases}$$