6-(2020-juny-3-5) Considereu la recta `r` d'equació `(x-1)/2=(y-3)/(-2)=z/1` i la recta `s` que passa pel punt `P = (2, -5, 1)` i que té per vector director `(-1, 0, -1)`. a) Estudieu la posició relativa de les rectes `r` i `s`. b) Calculeu l'equació general del pla que és paral·lel a la recta `r` i conté la recta `s`. a) Buscarem els vectors directors i els vectors de posició de cadascuna de els dues equacions. Si el vector que va d'un vector de posició a l'altra es pot posar com a combinació lineal dels vectors directors voldria dir que les dues rectes defineixen un pla. Per la qual cosa les dues rectes es tallarien en un punt. Sempre hi quant els vectors directors no siguin paral·lels ja que si no, podrien ho ser dues rectes paral·leles o ser la mateixa. Si dividim les components dels dos vectors directors veiem que no són rectes paral·leles, `2/(-1)=-2\ne(-5)/0\ne1/(-1)=-1` i- vector director de `r` és `v_r=(2,-2,1)` vector de posició, `P_r=(1,3,0)`. Ho treiem de l'equació contínua. ii-vector director de `s` és `v_s=(-1,0,-1)` vector de posició, `P_s=(2,-5,1)`. Per veure que no estan en el mateix pla només cal que calculem el determinant format pels vectors directors, `v_r` i `v_s` i el vector que va de `P_r` a `P_s` no sigui `0.` $$ \begin{vmatrix} 1 & -8 & 1\\\ 2 & -2 & 1\\\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}=2+8+0-(2+0+16)=10-18=-8 $$ Com que el resultat del determinant `\ne 0 =>` les dues rectes es creuen. b) La recta tindrà com a vectors directors els dos vectors directors de les rectes i com a vector director el de la recta `s`. Llavors el vector que va de qualsevol punt de la recta `(x,y,z)` al vector de posició `(2,-5,1)` es podrà posar com a combinació lineal dels dos vectors directors `=>` que el determinant format per `(x-2,y+5,z-1)` i els dos vectors directors, haurà de ser `0` i això ens determinarà l'equació del pla buscat. $$ \begin{vmatrix} x-2 & y+5 & z-1\\\ 2 & -2 & 1\\\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}=2(x-2)-1(y+5)-[2(z-1)-2(y+5)]=0 $$ `2x-4-y-5-2z+2+2y+10=0` `2x+y-2z+3=0`