|
Xuleta:
- (2025-juny-1-3) Una empresa produeix dos tipus de peces, de ferro i d’acer. El `60 %` de la producció total correspon a peces de ferro i la resta són d’acer. Sabem que el `95 %` de les peces de ferro produïdes no tenen cap defecte, mentre que el `3 %` de les peces d’acer són defectuoses. a) Si agafem una peça a l’atzar, quina és la probabilitat que sigui defectuosa? [0,75 punts] b ) L’empresa aviat diversificarà la producció i començarà a produir també peces de titani, que es vendran en paquets de `5`. Si la probabilitat que una peça de titani sigui defectuosa és un valor desconegut `p`, i cada peça és defectuosa independentment de les altres, comproveu que l’expressió que ens dona la probabilitat que en un paquet de `5` peces n’hi hagi exactament `4` de defectuoses (en funció de `p`) és `f(p) = 5(p^4 – p^5)`. [0,75 punts] c) Considereu la funció `f(p)` de l’apartat anterior. Determineu el valor màxim que pren `f(p)` quan `p >= 0`. [1 punt] SOLUCIÓ - (2025-juny TEI-4-3) Un usuari d’Internet ha estimat que el `25 %` dels correus electrònics que rep són correu brossa, mentre que la resta no ho són. Per a facilitar la classificació del correu, s’ha instal·lat un filtre que envia a la carpeta de correu brossa el `95 %` dels missatges que efectivament ho són. Malauradament, aquest filtre deixa a la safata d’entrada només el `90 %` dels missatges bons (i la resta els envia a la carpeta de correu brossa). a) Quina és la probabilitat que un missatge sigui enviat pel filtre a la carpeta de correu brossa? [0,75 punts] b) Un dia, aquest usuari obre la carpeta de correu brossa. Quin percentatge de missatges que no són correu brossa hi trobarà? [0,75 punts] En un servidor de correu electrònic determinat, la probabilitat de rebre com a mínim dos correus en menys de t minuts ve donada per la funció, `F(t)=\int_0^t Ae^(-0,5x) dx`, on `A` és una constant real. c) Sabent que la probabilitat de rebre com a mínim dos correus en menys de dos minuts és `1 – e^(–1)`, trobeu el valor de `A`. [1 punt] SOLUCIÓ - (2025-setembre-3-3) La lesió per sesamoïditis (inflamació de l’os sesamoide del peu) és relativament habitual entre la població que practica esports d’impacte (atletisme, bàsquet, tennis…). En una pobla-ció d’esportistes, s’ha fet un estudi diferenciant entre els que practiquen esports d’impacte i els que practiquen esports sense impacte brusc (com ara natació, pilates, senderisme…). S’ha pogut determinar que el `45 % ` practiquen esports d’impacte. Entre aquests, un `10 %` pateixen lesions per sesamoïditis, mentre que entre els que no practiquen esports d’impacte només un `3 %` presenten aquesta lesió. Escollim un esportista a l’atzar. a) Quina és la probabilitat que pateixi sesamoïditis? [0,75 punts] b) Si l’esportista escollit té una lesió per sesamoïditis, quina és la probabilitat que practiqui esports d’impacte? [0,75 punts] Una empresa de calçat esportiu ha creat una sabatilla amb amortiment per a minimitzar les lesions per sesamoïditis. Els beneficis generats per la venda d’aquest producte, en milers d’euros, segueixen una funció de la forma `f(x) = ax^3 + bx^2 + cx`, on `x` són els anys transcorreguts des que la sabatilla va sortir a la venda i `a`, `b` i `c` són constants reals. c) Calculeu els valors de `a`, `b` i `c` sabent que el primer any es van obtenir el màxim de beneficis, amb un valor de `8 000` euros, i que el segon any va haver-hi un punt d’inflexió en els beneficis. [1 punt] SOLUCIÓ - (2024-juny-1-4) L’Andreu posa les nou boles que es mostren a continuació dins d’una bossa.  a) A continuació, treu de la bossa dues boles a l’atzar, una darrere l’altra i sense reemplaçament (és a dir, no retorna a la bossa la primera bola abans de treure la segona). — Calculeu la probabilitat que la primera bola sigui una `A` o una `E`. [0,5 punts] — Calculeu la probabilitat que les dues boles siguin diferents. [0,75 punts] b) L’Andreu torna a posar totes les boles a la bossa i en treu cinc a l’atzar, una darrere l’altra, però ara amb reemplaçament (és a dir, ara sí que retorna a la bossa cada bola extreta abans d’agafar la següent). — Calculeu la probabilitat que no hagi tret cap `A`. [0,5 punts] — Calculeu la probabilitat que hagi tret almenys dues `A`. [0,75 punts] SOLUCIÓ - (2024-juny TEI-5-4) La Rut fa servir el mètode següent per a fer els problemes de matemàtiques: tira un dau equilibrat i, si el resultat és com a màxim `4`, pensa i resol el problema ella mateixa; si el resultat és `5` o `6`, busca la solució del problema per Internet i la copia. Quan és ella qui ha pensat la solució, la resposta és correcta en el `75 %` dels casos; quan copia la solució d’Internet, la resposta és correcta només en el `40 %` dels casos. a) Quina és la probabilitat que la solució d’un problema respost seguint aquest mètode sigui correcta? [0,75 punts] b) Quina és la probabilitat que un problema l’hagi resolt la Rut si sabem que la solució és correcta? [0,75 punts] c) Demà la Rut ha d’entregar `5` problemes de matemàtiques. Quina és la probabilitat que n’hi hagi almenys `4` de correctes? [1 punt] SOLUCIÓ - (2024-setembre-3-4) S’estima que el `20 %` dels habitants d’una regió pateix algun tipus d’arrítmia. Per a diagnosticar-la, hi ha la possibilitat de col·locar al pacient un monitor Holter, que detecta l’arrítmia en un `95 %` dels casos de persones que la pateixen, però que també dona falsos positius, per motius elèctrics, en persones que no pateixen arrítmies en un `0,5 %` dels casos. a) Si escollim `4` persones a l’atzar, quina és la probabilitat que almenys una d’elles pateixi arrítmies? [0,75 punts] b) Quina és la probabilitat que una persona escollida a l’atzar obtingui un diagnòstic positiu d’arrítmia? [0,75 punts] c) Si una persona obté un diagnòstic negatiu a la prova del Holter, quina és la probabilitat que realment pateixi arrítmies? [1 punt] SOLUCIÓ Problema 1- Un ordinador personal té operatius dos programes antivirus `A_1` i `A_2` que actuen simultàniament i de forma independent. Davant la presència d'un virus, el programa `A_1` el detecta amb una probabilitat de `0.9` i el programa `A_2` el detecta amb una probabilitat de `0.8`. Calculeu de forma raonada: a) La probabilitat que un virus qualsevol sigui detectat. b) Si un virus ha estat detectat, quina és la probabilitat que l’hagi detectat l’antivirus `A_1`? c) Si un virus ha estat detectat, quina és la probabilitat que l’hagin detectat els dos antivirus `A_1` i `A_2`? d) Un software addicional altera el funcionament de l’antivirus `A_2` de manera que la probabilitat que detecti un virus ja no és de `0.8`. Quina és aquesta nova probabilitat si sabem que un virus és detectat per `A_1` i no per `A_2` amb probabilitat `0.27`? SOLUCIÓ Problema 2- En un poble hi ha dos instituts que anomenarem `A_1` i `A_2`. En tots dos instituts es pot estudiar el batxillerat científic (que anomenarem `B_1`) o l’humanístic (que anomenarem `B_2`). Seleccionem un alumne a l’atzar i se sap que la probabilitat que pertanyi a l’institut `A_1` és de `0.3`, la probabilitat que pertanyi a l’institut `A_2` és de `0.7`. D’altra banda, la probabilitat que estudiï el batxillerat científic si sabem que pertany a l’institut `A_1` és de `0.55` mentre que la probabilitat que estudiï el batxillerat científic si sabem que pertany a l’institut `A_2` és de `0.59`. a) Calcula les probabilitats que un alumne estudiï el batxillerat B1 a l’institut `A_1`, que estudiï el batxillerat `B_1` a l’institut `A_2`, que estudiï el batxillerat `B_2` a l’institut `A_1`, i que estudiï el batxillerat `B_2` a l’institut `A_2`. b) Si en aquest poble hi ha exactament `1000` estudiants, quants esduïen cada batxillerat a cada institut? c) El curs vinent arribaran `20` alumnes nous al poble i tots faran batxillerat `B_2` a l’institut `A_1`. Quina serà la nova probabilitat que un alumne estudiï batxillerat `B_1`si sabem que pertany a l’institut `A_1` ? SOLUCIÓ Problema 3- Els components electrònics produïts per una determinada empresa són defectuosos amb una certa probabilitat `p`. L’empresa ven els components en paquets de `10` i es compromet a retornar els diners si el paquet conté `2` o més components defectuosos. a) Calcula, en funció de `p`, la probabilitat que et retornin els diners si compres un paquet de components. b) Si `p=0.01`, quina és la probabilitat de que, comprant `3` paquets de components, et retornin els diners de, com a mínim, un dels paquets? Aquest resultat augmenta o disminueix quan `p` augmenta? Raona la resposta. c) Si `p=0.01`, calcula la probabilitat que comprant `4` paquets et retornin els diners d’exactament dos d’ells. SOLUCIÓ Problema 4- Considera l’experiment següent: tirem un dau equilibrat i, a continuació, tirem tantes monedes (equilibrades també) com indiqui el resultat del dau. a) Calcula la probabilitat que obtinguem exactament `3` cares. b) Calcula la probabilitat que obtinguem exactament `3` cares sabent que el resultat del dau ha estat un nombre parell. c) Calcula la probabilitat que obtinguem exactament `3` cares sabent que la primera moneda ha donat creu. SOLUCIÓ Problema 5- L’Anna i el Blai juguen al joc següent: començant per l’Anna, s’alternen tirant una moneda equilibrada fins a un màxim de 4 cops cadascú; el primer que obtingui cara guanya, i si els hi surten vuit creus empaten. a) Calcula la probabilitat que guanyi l’Anna i la probabilitat que guanyi el Blai. Qui té més possibilitats de guanyar? b) Aquestes dues quantitats han de sumar `1`? Justifica la resposta. c) Ara suposem que la moneda està trucada i que la probabilitat que surti cara en una tirada és `0 < p < 1`. Quan ha de ser `p` per tal que l’Anna tingui el triple de possibilitats de guanyar el joc? SOLUCIÓ Problema 6- Tirem un dau equilibrat repetides vegades fins que surti un sis, moment en el qual parem. a) Quina és la probabilitat que després de n tirades encara no hagi sortit cap sis? b) Quantes tirades hem de fer, com a mínim, per tal que la probabilitat que surti un sis sigui igual o superior a `0.95` ? c) Sabent que ens ha sortit el primer sis a la cinquena tirada, quina és la probabilitat que no hagi sortit cap cinc ni cap quatre SOLUCIÓ |