Probabilitat Xuleta: Apunts introducció a la probabilitat Fórmules que ens poden ajudar. Estan explicades en els apunts anteriors: `0<=p<=1` `P(\overline A)=1-P(A)` `P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)` `P(A \cap B) = P(A)·P(B|A)` Si `A` i `B` són independents, `=> P(B|A)=P(B) => P(A \cap B) = P(A)·P(B)` Teorema de Bayes Binomial, els apunts anteriors, no en parla. $$P(k)= {n \choose k}p^k·(1-p)^{n-k}$$ `mu = n · p` `sigma=sqrt(n·p·(1-p))` Funcions de distribució: Funcions de distribució discretes - Binomial - Exercicis de binomial Com sempre, recordar que no hi ha una única manera de fer els exercicis. Agrair a en Josep, profesor de matemàtiques de l'INS Pla de l'Estany els comentaris, correccions i suggeriments en la realització d'aquest pàgina. Qualsevol comentari, idea o error que us suggereixi aquest document, no dubteu en fer-me'l saber. jlagares@xtec.cat. - (2026-juny-1-3) L’Ajuntament de Canet de Mar ha aconseguit `24` entrades gratuïtes per a un concert d’un grup de rock català, i ha decidit sortejar-les entre els veïns interessats a assistir-hi. Tots els veïns del poble seguidors d’aquest grup s’apunten al sorteig, i només al `16 %` els toca una entrada. De la resta de seguidors del grup, sis setenes parts intenten comprar una entrada per la web, on la probabilitat d’aconseguir-ne és del `25 %`. 3.1. Quantes persones d’aquest municipi tenen entrada per al concert? [0,75 punts] 3.2. Si escollim a l’atzar un veí de Canet seguidor d’aquest grup de rock i no té entrada per al concert, quina és la probabilitat que hagués intentat aconseguir-la via web? [0,75 punts] 3.3. El dia del concert, l’equip de so mesura el nivell de decibels generat pels crits entusiastes del públic durant els `5` minuts de durada de la cançó més famosa del grup; es pot aproximar per la funció següent: `S(t) = –t^3 + 12t^2 – 30t + 90`, `t in [0, 5]`, on `t` és el temps en minuts i `S(t)` els decibels. Quan se superen els `100` decibels es considera que el públic està molt entregat i s’activen automàticament uns efectes lumínics especials. S’activaran en algun moment durant aquests cinc minuts? Si la resposta és afirmativa, calculeu en quin minut s’activen, aproximat a les dècimes. [1 punt] SOLUCIÓ - (2026-juny TEI-5-3) En una ciutat s’ha estudiat la relació entre els hàbits de lectura i la pràctica d’esport en l’alumnat de batxillerat. Per a fer-ho, s’han formulat les dues preguntes següents a l’alumnat d’aquesta etapa educativa: «Llegeixes com a mínim dos llibres al mes?» i «Practiques algun esport almenys quatre hores a la setmana?» Dels resultats de l’enquesta, es desprèn que el `60 %` llegeixen com a mínim dos llibres al mes, dels quals el `70 %` practiquen algun esport un mínim de quatre hores a la setmana. També s’observa que, d’entre els que no llegeixen un mínim de dos llibres al mes, el `50 %` fan menys de quatre hores setmanals d’esport. Si escollim a l’atzar un alumne/a de batxillerat d’aquesta ciutat: 3.1. Quina és la probabilitat que faci esport almenys quatre hores setmanals? [0,75 punts] 3.2. Si sabem que aquest alumne/a fa esport menys de quatre hores setmanals, quina probabilitat hi ha que llegeixi almenys dos llibres al mes? [0,75 punts] L’Alba és una estudiant de batxillerat que ha anat anotant durant tot el curs quantes hores dedicava a la setmana a llegir i quantes a fer esport. Per a cada setmana té apuntat un nombre real `x` que correspon a la quantitat d’hores de lectura i que oscil·la entre `1` i `6`, i un nombre real `y` que correspon a la quantitat d’hores de pràctica esportiva. Ha observat que la relació `y = 7 – x + ln(2x – 1)` s’ajusta força bé a les dades que ha anotat. 3.3. Calculeu, segons aquest model, quin és el màxim i el mínim d’hores per setmana que l’Alba ha dedicat a practicar esport. [1 punt] SOLUCIÓ - (2025-juny-1-3) Una empresa produeix dos tipus de peces, de ferro i d’acer. El `60 %` de la producció total correspon a peces de ferro i la resta són d’acer. Sabem que el `95 %` de les peces de ferro produïdes no tenen cap defecte, mentre que el `3 %` de les peces d’acer són defectuoses. a) Si agafem una peça a l’atzar, quina és la probabilitat que sigui defectuosa? [0,75 punts] b ) L’empresa aviat diversificarà la producció i començarà a produir també peces de titani, que es vendran en paquets de `5`. Si la probabilitat que una peça de titani sigui defectuosa és un valor desconegut `p`, i cada peça és defectuosa independentment de les altres, comproveu que l’expressió que ens dona la probabilitat que en un paquet de `5` peces n’hi hagi exactament `4` de defectuoses (en funció de `p`) és `f(p) = 5(p^4 – p^5)`. [0,75 punts] c) Considereu la funció `f(p)` de l’apartat anterior. Determineu el valor màxim que pren `f(p)` quan `p >= 0`. [1 punt] SOLUCIÓ - (2025-juny TEI-4-3) Un usuari d’Internet ha estimat que el `25 %` dels correus electrònics que rep són correu brossa, mentre que la resta no ho són. Per a facilitar la classificació del correu, s’ha instal·lat un filtre que envia a la carpeta de correu brossa el `95 %` dels missatges que efectivament ho són. Malauradament, aquest filtre deixa a la safata d’entrada només el `90 %` dels missatges bons (i la resta els envia a la carpeta de correu brossa). a) Quina és la probabilitat que un missatge sigui enviat pel filtre a la carpeta de correu brossa? [0,75 punts] b) Un dia, aquest usuari obre la carpeta de correu brossa. Quin percentatge de missatges que no són correu brossa hi trobarà? [0,75 punts] En un servidor de correu electrònic determinat, la probabilitat de rebre com a mínim dos correus en menys de t minuts ve donada per la funció, `F(t)=\int_0^t Ae^(-0,5x) dx`, on `A` és una constant real. c) Sabent que la probabilitat de rebre com a mínim dos correus en menys de dos minuts és `1 – e^(–1)`, trobeu el valor de `A`. [1 punt] SOLUCIÓ - (2025-setembre-3-3) La lesió per sesamoïditis (inflamació de l’os sesamoide del peu) és relativament habitual entre la població que practica esports d’impacte (atletisme, bàsquet, tennis…). En una pobla-ció d’esportistes, s’ha fet un estudi diferenciant entre els que practiquen esports d’impacte i els que practiquen esports sense impacte brusc (com ara natació, pilates, senderisme…). S’ha pogut determinar que el `45 % ` practiquen esports d’impacte. Entre aquests, un `10 %` pateixen lesions per sesamoïditis, mentre que entre els que no practiquen esports d’impacte només un `3 %` presenten aquesta lesió. Escollim un esportista a l’atzar. a) Quina és la probabilitat que pateixi sesamoïditis? [0,75 punts] b) Si l’esportista escollit té una lesió per sesamoïditis, quina és la probabilitat que practiqui esports d’impacte? [0,75 punts] Una empresa de calçat esportiu ha creat una sabatilla amb amortiment per a minimitzar les lesions per sesamoïditis. Els beneficis generats per la venda d’aquest producte, en milers d’euros, segueixen una funció de la forma `f(x) = ax^3 + bx^2 + cx`, on `x` són els anys transcorreguts des que la sabatilla va sortir a la venda i `a`, `b` i `c` són constants reals. c) Calculeu els valors de `a`, `b` i `c` sabent que el primer any es van obtenir el màxim de beneficis, amb un valor de `8 000` euros, i que el segon any va haver-hi un punt d’inflexió en els beneficis. [1 punt] SOLUCIÓ - (2024-juny-1-4) L’Andreu posa les nou boles que es mostren a continuació dins d’una bossa. a) A continuació, treu de la bossa dues boles a l’atzar, una darrere l’altra i sense reemplaçament (és a dir, no retorna a la bossa la primera bola abans de treure la segona). — Calculeu la probabilitat que la primera bola sigui una `A` o una `E`. [0,5 punts] — Calculeu la probabilitat que les dues boles siguin diferents. [0,75 punts] b) L’Andreu torna a posar totes les boles a la bossa i en treu cinc a l’atzar, una darrere l’altra, però ara amb reemplaçament (és a dir, ara sí que retorna a la bossa cada bola extreta abans d’agafar la següent). — Calculeu la probabilitat que no hagi tret cap `A`. [0,5 punts] — Calculeu la probabilitat que hagi tret almenys dues `A`. [0,75 punts] SOLUCIÓ - (2024-juny TEI-5-4) La Rut fa servir el mètode següent per a fer els problemes de matemàtiques: tira un dau equilibrat i, si el resultat és com a màxim `4`, pensa i resol el problema ella mateixa; si el resultat és `5` o `6`, busca la solució del problema per Internet i la copia. Quan és ella qui ha pensat la solució, la resposta és correcta en el `75 %` dels casos; quan copia la solució d’Internet, la resposta és correcta només en el `40 %` dels casos. a) Quina és la probabilitat que la solució d’un problema respost seguint aquest mètode sigui correcta? [0,75 punts] b) Quina és la probabilitat que un problema l’hagi resolt la Rut si sabem que la solució és correcta? [0,75 punts] c) Demà la Rut ha d’entregar `5` problemes de matemàtiques. Quina és la probabilitat que n’hi hagi almenys `4` de correctes? [1 punt] SOLUCIÓ - (2024-setembre-3-4) S’estima que el `20 %` dels habitants d’una regió pateix algun tipus d’arrítmia. Per a diagnosticar-la, hi ha la possibilitat de col·locar al pacient un monitor Holter, que detecta l’arrítmia en un `95 %` dels casos de persones que la pateixen, però que també dona falsos positius, per motius elèctrics, en persones que no pateixen arrítmies en un `0,5 %` dels casos. a) Si escollim `4` persones a l’atzar, quina és la probabilitat que almenys una d’elles pateixi arrítmies? [0,75 punts] b) Quina és la probabilitat que una persona escollida a l’atzar obtingui un diagnòstic positiu d’arrítmia? [0,75 punts] c) Si una persona obté un diagnòstic negatiu a la prova del Holter, quina és la probabilitat que realment pateixi arrítmies? [1 punt] SOLUCIÓ Exercicis de mostra proposats previs PAU 2024 Problema 1- Un ordinador personal té operatius dos programes antivirus `A_1` i `A_2` que actuen simultàniament i de forma independent. Davant la presència d'un virus, el programa `A_1` el detecta amb una probabilitat de `0.9` i el programa `A_2` el detecta amb una probabilitat de `0.8`. Calculeu de forma raonada: a) La probabilitat que un virus qualsevol sigui detectat. b) Si un virus ha estat detectat, quina és la probabilitat que l’hagi detectat l’antivirus `A_1`? c) Si un virus ha estat detectat, quina és la probabilitat que l’hagin detectat els dos antivirus `A_1` i `A_2`? d) Un software addicional altera el funcionament de l’antivirus `A_2` de manera que la probabilitat que detecti un virus ja no és de `0.8`. Quina és aquesta nova probabilitat si sabem que un virus és detectat per `A_1` i no per `A_2` amb probabilitat `0.27`? SOLUCIÓ Problema 2- En un poble hi ha dos instituts que anomenarem `A_1` i `A_2`. En tots dos instituts es pot estudiar el batxillerat científic (que anomenarem `B_1`) o l’humanístic (que anomenarem `B_2`). Seleccionem un alumne a l’atzar i se sap que la probabilitat que pertanyi a l’institut `A_1` és de `0.3`, la probabilitat que pertanyi a l’institut `A_2` és de `0.7`. D’altra banda, la probabilitat que estudiï el batxillerat científic si sabem que pertany a l’institut `A_1` és de `0.55` mentre que la probabilitat que estudiï el batxillerat científic si sabem que pertany a l’institut `A_2` és de `0.59`. a) Calcula les probabilitats que un alumne estudiï el batxillerat B1 a l’institut `A_1`, que estudiï el batxillerat `B_1` a l’institut `A_2`, que estudiï el batxillerat `B_2` a l’institut `A_1`, i que estudiï el batxillerat `B_2` a l’institut `A_2`. b) Si en aquest poble hi ha exactament `1000` estudiants, quants esduïen cada batxillerat a cada institut? c) El curs vinent arribaran `20` alumnes nous al poble i tots faran batxillerat `B_2` a l’institut `A_1`. Quina serà la nova probabilitat que un alumne estudiï batxillerat `B_1`si sabem que pertany a l’institut `A_1` ? SOLUCIÓ Problema 3- Els components electrònics produïts per una determinada empresa són defectuosos amb una certa probabilitat `p`. L’empresa ven els components en paquets de `10` i es compromet a retornar els diners si el paquet conté `2` o més components defectuosos. a) Calcula, en funció de `p`, la probabilitat que et retornin els diners si compres un paquet de components. b) Si `p=0.01`, quina és la probabilitat de que, comprant `3` paquets de components, et retornin els diners de, com a mínim, un dels paquets? Aquest resultat augmenta o disminueix quan `p` augmenta? Raona la resposta. c) Si `p=0.01`, calcula la probabilitat que comprant `4` paquets et retornin els diners d’exactament dos d’ells. SOLUCIÓ Problema 4- Considera l’experiment següent: tirem un dau equilibrat i, a continuació, tirem tantes monedes (equilibrades també) com indiqui el resultat del dau. a) Calcula la probabilitat que obtinguem exactament `3` cares. b) Calcula la probabilitat que obtinguem exactament `3` cares sabent que el resultat del dau ha estat un nombre parell. c) Calcula la probabilitat que obtinguem exactament `3` cares sabent que la primera moneda ha donat creu. SOLUCIÓ Problema 5- L’Anna i el Blai juguen al joc següent: començant per l’Anna, s’alternen tirant una moneda equilibrada fins a un màxim de 4 cops cadascú; el primer que obtingui cara guanya, i si els hi surten vuit creus empaten. a) Calcula la probabilitat que guanyi l’Anna i la probabilitat que guanyi el Blai. Qui té més possibilitats de guanyar? b) Aquestes dues quantitats han de sumar `1`? Justifica la resposta. c) Ara suposem que la moneda està trucada i que la probabilitat que surti cara en una tirada és `0 < p < 1`. Quan ha de ser `p` per tal que l’Anna tingui el triple de possibilitats de guanyar el joc? SOLUCIÓ Problema 6- Tirem un dau equilibrat repetides vegades fins que surti un sis, moment en el qual parem. a) Quina és la probabilitat que després de n tirades encara no hagi sortit cap sis? b) Quantes tirades hem de fer, com a mínim, per tal que la probabilitat que surti un sis sigui igual o superior a `0.95` ? c) Sabent que ens ha sortit el primer sis a la cinquena tirada, quina és la probabilitat que no hagi sortit cap cinc ni cap quatre SOLUCIÓ