Probabilitat Xuleta: Apunts introducció a la probabilitat Fórmules que ens poden ajudar. Estan explicades en els apunts anteriors: `0<=p<=1` `P(\overline A)=1-P(A)` `P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cup B)` `P(A \cap B) = P(A)·P(B|A)` Si `A` i `B` són independents, `=> P(B|A)=P(B) => P(A \cap B) = P(A)+P(B)` Teorema de Bayes Binomial, els apunts anteriors, no en parla. $$P(k)= {n \choose k}p^k·(1-p)^{n-k}$$ Com sempre, recordar que no hi ha una única manera de fer els exercicis. Agrair a en Josep, profesor de matemàtiques de l'INS Pla de l'Estany els comentaris, correccions i suggeriments en la realització d'aquest pàgina. Qualsevol comentari, idea o error que us suggereixi aquest document, no dubteu en fer-me'l saber. jlagares@xtec.cat. -(2024-juny-1-6) Considereu els punts `A = (1, 2, 3)` i `B = (–3, –2, 3)`. a) Calculeu l’equació del pla `pi` que és perpendicular a la recta `AB` i que passa pel punt mitjà entre `A` i `B`. Justifiqueu ue aquest pla està format, precisament, pels punts `P = (x, y, z)` que estan a igual distància de `A` que de `B`, és a dir, `d(P, A) = d(P, B)`. [1 punt] b) Calculeu les distàncies de A i de B al pla p i comproveu que són iguals. És casualitat? Raoneu la resposta. [0,75 punts] c) Sigui `C = (–7, 6, 3)`. El triangle `ABC` és isòsceles? Calculeu la seva àrea. [0,75 punts] SOLUCIÓ Exercicis de mostra proposats previs PAU 2024 Problema 1-Un ordinador personal té operatius dos programes antivirus `A_1` i `A_2` que actuen simultàniament i de forma independent. Davant la presència d'un virus, el programa `A_1` el detecta amb una probabilitat de `0.9` i el programa `A_2` el detecta amb una probabilitat de `0.8`. Calculeu de forma raonada: a) La probabilitat que un virus qualsevol sigui detectat. b) Si un virus ha estat detectat, quina és la probabilitat que l’hagi detectat l’antivirus `A_1`? c) Si un virus ha estat detectat, quina és la probabilitat que l’hagin detectat els dos antivirus `A_1` i `A_2`? d) Un software addicional altera el funcionament de l’antivirus `A_2` de manera que la probabilitat que detecti un virus ja no és de `0.8`. Quina és aquesta nova probabilitat si sabem que un virus és detectat per `A_1` i no per `A_2` amb probabilitat `0.27`? SOLUCIÓ Problema 2-En un poble hi ha dos instituts que anomenarem A_1 i `A_2`. En tots dos instituts es pot estudiar el batxillerat científic (que anomenarem `B_1`) o l’humanístic (que anomenarem `B_2`). Seleccionem un alumne a l’atzar i se sap que la probabilitat que pertanyi a l’institut `A_1` és de `0.3`, la probabilitat que pertanyi a l’institut `A_2` és de `0.7`. D’altra banda, la probabilitat que estudiï el batxillerat científic si sabem que pertany a l’institut `A_1` és de `0.55` mentre que la probabilitat que estudiï el batxillerat científic si sabem que pertany a l’institut `A_2` és de `0.59`. a) Calcula les probabilitats que un alumne estudiï el batxillerat B1 a l’institut `A_1`, que estudiï el batxillerat `B_1` a l’institut `A_2`, que estudiï el batxillerat `B_2` a l’institut `A_1`, i que estudiï el batxillerat `B_2` a l’institut `A_2`. b) Si en aquest poble hi ha exactament `1000` estudiants, quants esduïen cada batxillerat a cada institut? c) El curs vinent arribaran `20` alumnes nous al poble i tots faran batxillerat `B_2` a l’institut `A_1`. Quina serà la nova probabilitat que un alumne estudiï batxillerat `B_1`si sabem que pertany a l’institut `A_1` ? SOLUCIÓ Problema 3-Els components electrònics produïts per una determinada empresa són defectuosos amb una certa probabilitat `p`. L’empresa ven els components en paquets de `10` i es compromet a retornar els diners si el paquet conté `2` o més components defectuosos. a) Calcula, en funció de `p`, la probabilitat que et retornin els diners si compres un paquet de components. b) Si `p=0.01`, quina és la probabilitat de que, comprant `3` paquets de components, et retornin els diners de, com a mínim, un dels paquets? Aquest resultat augmenta o disminueix quan `p` augmenta? Raona la resposta. c) Si `p=0.01`, calcula la probabilitat que comprant `4` paquets et retornin els diners d’exactament dos d’ells. SOLUCIÓ Problema 4-Considera l’experiment següent: tirem un dau equilibrat i, a continuació, tirem tantes monedes (equilibrades també) com indiqui el resultat del dau. a) Calcula la probabilitat que obtinguem exactament `3` cares. b) Calcula la probabilitat que obtinguem exactament `3` cares sabent que el resultat del dau ha estat un nombre parell. c) Calcula la probabilitat que obtinguem exactament `3` cares sabent que la primera moneda ha donat creu. SOLUCIÓ Problema 5-L’Anna i el Blai juguen al joc següent: començant per l’Anna, s’alternen tirant una moneda equilibrada fins a un màxim de 4 cops cadascú; el primer que obtingui cara guanya, i si els hi surten vuit creus empaten. a) Calcula la probabilitat que guanyi l’Anna i la probabilitat que guanyi el Blai. Qui té més possibilitats de guanyar? b) Aquestes dues quantitats han de sumar `1`? Justifica la resposta. c) Ara suposem que la moneda està trucada i que la probabilitat que surti cara en una tirada és `0 < p < 1`. Quan ha de ser `p` per tal que l’Anna tingui el triple de possibilitats de guanyar el joc? SOLUCIÓ Problema 6-Tirem un dau equilibrat repetides vegades fins que surti un sis, moment en el qual parem. a) Quina és la probabilitat que després de n tirades encara no hagi sortit cap sis? b) Quantes tirades hem de fer, com a mínim, per tal que la probabilitat que surti un sis sigui igual o superior a `0.95` ? c) Sabent que ens ha sortit el primer sis a la cinquena tirada, quina és la probabilitat que no hagi sortit cap cinc ni cap quatre SOLUCIÓ