|
Problema 6-Tirem un dau equilibrat repetides vegades fins que surti un sis, moment en el qual parem. a) Quina és la probabilitat que després de `n` tirades encara no hagi sortit cap sis? b) Quantes tirades hem de fer, com a mínim, per tal que la probabilitat que surti un sis sigui igual o superior a `0.95` ? c) Sabent que ens ha sortit el primer sis a la cinquena tirada, quina és la probabilitat que no hagi sortit cap cinc ni cap quatre Solució: Problema de binomial això vol dir que si repetim una mateixa experiencia vàries vegades, per exemple tirar un dau la probabilitat de tenir èxit en una tirada, per exemple treure un sis, `1/6` ens dona una fórmula per calcular la probabilitat de tenir `k` èxits en `n` tirades i la fórmula per calcular-ho és: $$P(k)= {n \choose k}p^k·(1-p)^{n-k}$$ On `n` és el nombre de vegades que es repeteix l'experiment, `k` el nombre d'èxits que volem tenir, `p` és la probabilitat de tenir èxit en una vegada de fer l'experiment i `(1-p)` (que a vegades se'n diu `q`) la probabilitat de no tenir èxit en un experiment (probabilitat de l'esdeveniment contrari. Així, per exemple, si tirem `5` vegades un dau i volem saber la probabilitat de que surtin exactament `3` sisos tindríem. `n=5`, `k=3` `p=1/6` i `(1-p)=5/6` i la probabilitat seria: $$P(3)= {5 \choose 3}(1/6)^3·(5/6)^2 = \frac{5·4·3}{3·2·1}·\frac{5^2}{6^5}$$ a) Volem trobar la probabilitat que en `n` tirades no hi hagi cap èxit, `k=0` i `p=5/6` i `(1-p)=1/6` Èxit és no sortir sis. $$P(0)= {n \choose 0}(5/6)^n·(1/6)^0 = 1·\frac{5^n}{6^n}·1=\frac{5^n}{6^n}$$ b) En una tirada la probabilitat que no surti un sis és `5/6 = 0,833333` O sigui que surti un sis és `1-0,833333 = 0,166667 \approx 17%` Si fem dues tirades, fent servir la fórmula de l'apartat a, la probabilitat que no surtin sisos, `(5/6)^2 = 0,694444` O sigui que surti algun sis és `1-0,694444 = 0,305556 \approx 31%` En resum, cal trobar la `n` que faci que: `-(5/6)^n>=0,95-1` `(5/6)^n<=0,05` `log_(5/6)^((5/6)^n)>=log_(5/6)^(0,05)` Com son logaritmes de base `>1`, cal girar un altre cop la desigualtat. També es podria anar provant `n`s fins a trobar la solució. Comprobem que `1-(5/6)^17 = 0,954927>=0,95` c) En les quatre primeres tirades cal calcular la probabilitat de que no surti cap `4` ni cap `5` sabent que no ha sortit un `6`. La probabilitat de que passi això en cada una de les tirades és:
I ara hem de cacular la probabilitat de que passi això en quatre tirades seguides: |