Problema 3-Els components electrònics produïts per una determinada empresa són defectuosos amb una certa probabilitat `p`. L’empresa ven els components en paquets de `10` i es compromet a retornar els diners si el paquet conté `2` o més components defectuosos. a) Calcula, en funció de `p`, la probabilitat que et retornin els diners si compres un paquet de components. b) Si `p=0.01`, quina és la probabilitat de que, comprant `3` paquets de components, et retornin els diners de, com a mínim, un dels paquets? Aquest resultat augmenta o disminueix quan `p` augmenta? Raona la resposta. c) Si `p=0.01`, calcula la probabilitat que comprant `4` paquets et retornin els diners d’exactament dos d’ells. Solució: a) Això és un problema de binomial (veure problema 6). `n=10`, `q=1-p`. Caldria calcular la probabilitat de que hi hagi cap o un component defectuós. La probabilitat de què ens retornin els diners serà la del complementari d'aquest. $$P(0)+P(1)= {10 \choose 0}p^0·q^{10}+{10 \choose 1}p^1·q^9=q^{10}+10p·q^9$$ Probabilitat que et retornin els diners, dos o més components defectuosos: `1-q^10-10p·q^9=1-(1-p)^10-10p(1-p)^9=1-(1-p)^9·(1-p+10p)=1-(1-p)^9·(1+9p)` b) Si `p=0,01` probabilitat de que et retornin els diners comprant-ne un paquet: `P = 1-(1-0,01)^9*(1+9*0,01) = 0,004266` Ara ens diuen que comprem tres paquets i ens demanen la probabilitat que ens retornin els diners en un o dos o tres paquets. Calcularem la probabilitat de que no ens retornin els diners i ho restarem d'`1`. Torna a ser un problema de binomial, èxit serà que ens retornin els diners, `n=3`, `k=0`, no volem que ens els retornin, `p=0,004266`, `q=1-0,004266 = 0,995734` $$P= 1-{3 \choose 0}0,004266^0·0,995734^3=1-0,995734^{3} = 1-0,987257 = 0,012743$$ c) $$P= {4 \choose 2}0,004266^2·0,995734^2=\frac{4·3}{2·1}·0,004266^2·0,995734^2=6*0,004266^2*0,995734^2 = 0,000108$$