|
ÀLGEBRA -(2024-juny-1-2) Considereu el sistema d’equacions següent: $$ \begin{cases} 4x+2y-z=4\\ x-y+kz=3\\ 3x+3y=1 \end{cases} $$ on `k` és un paràmetre real. a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre `k`, i resoleu-lo per a `k = 0`. [1 punt] b) Resoleu el sistema per a `k = –1`. [0,75 punts] c) Per a `k = –1`, modifiqueu la tercera equació de manera que el sistema esdevingui incompatible. Justifiqueu la resposta. [0,75 punts] SOLUCIÓ -(2023-juny-1-2) Considereu les dues matrius següents: $$ A=\begin{pmatrix} 2&-3&-5\\\ -1&4&5\\\ 1&-3&-4 \end{pmatrix} B=\begin{pmatrix} 2&2&0\\\ -1&-1&0\\\ 1&2&1 \end{pmatrix} $$
b) Siguin `C` i `D` dues matrius quadrades del mateix ordre que satisfan `C · D = C` i `D · C = D`. Comproveu que les dues matrius, `C` i `D`, són idempotents. [1 punt] Nota: Una matriu quadrada s’anomena idempotent si coincideix amb el seu quadrat. SOLUCIÓ -(2023-juny-1-4) Sigui el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `\lambda`: $$ \begin{cases} x+2\lambda y+(2+\lambda)z=0\\ (2+\lambda)x+y+2\lambda z=3\\ 2\lambda x+(2+\lambda)y+z=-3\end{cases} $$
b-Per al cas `\lambda = –1`, resoleu el sistema, interpreteu-lo geomètricament i identifiqueu-ne la solució. [1,25 punts] SOLUCIÓ -(2023-setembre-2-1) Siguin $$ A=\begin{pmatrix} 2&1\\\ 3&2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2&-1\\\ -3&2 \end{pmatrix} $$ i la matriu identitat d'ordre dos $$ I=\begin{pmatrix} 1&0\\\ 0&1 \end{pmatrix} $$
b) Utilitzant la igualtat de l’apartat anterior, trobeu la matriu inversa de la matriu `A` en funció de les matrius `A` i `I`, i comproveu que coincideix amb la matriu `B`. [1,25 punts] c) Calculeu la matriu `X` que satisfà la igualtat `A · X = B`. [0,75 punts] SOLUCIÓ -(2023-setembre-2-3) Sigui el sistema d’equacions lineals , en què `m` és un nombre real. $$ \begin{cases} 2x+y=1+z\\ my+z=2-x\\ mz+3=3x+y \end{cases} $$
b) Resoleu el sistema, si té solució, per al cas `m = 1`. [1,25 punts] -(2022-juny-2-2)- Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `a`: $$ \begin{cases} ax+2y+3z=2\\ 2x+ay+z=a\\ x+y+4z=1 \end{cases} $$
b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas `a = 2`. [1 punt] -(2022-juny-2-5)- Sigui la matriu, `X` que depèn dels paràmetres `a`, `b` i `c`. $$ X=\begin{pmatrix} a&1&0\\\ 0&b&1\\\ 0&0&c \end{pmatrix} $$
$$ X^2=\begin{pmatrix} 1&0&1\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1 \end{pmatrix} $$ b) Determineu els valors de `a`, `b` i `c` perquè la matriu inversa de `X` sigui. [1 punt] X^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\ 0&1&1\\\ 0&0&-1 \end{pmatrix} $$ -(2022-setembre-3-3)- Considereu la matriu `A`, que depèn del paràmetre `a`. $$ A=\begin{pmatrix} 1&a&3\\\ 2a&5&3a\\\ 7&4a&9 \end{pmatrix} $$
b) Si $$ X=\begin{pmatrix} x\\\ y\\\ z \end{pmatrix} $$ , resoleu l’equació matricial següent:[1,25 punts] $$ \begin{pmatrix} 1&2&3\\\ 4&5&6\\\ 7&8&9 \end{pmatrix} ·X=\begin{pmatrix} 0\\\ 0\\\ 0 \end{pmatrix} $$ -(2022-setembre-3-5)- Sigui la matriu $$ A=\begin{pmatrix} a&a&0\\\ 2&a+1&a-1\\\ 2a+1&0&-a-3 \end{pmatrix} $$ , en què a és un paràmetre real.
b) Per al cas `a = 3`, resoleu l’equació `A·X = B-3I`, en què . [1,25 punts] B=\begin{pmatrix} 4&0&0\\\ 0&4&0\\\ 0&0&4 \end{pmatrix} $$ -(2021-juny-2-2). Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `p`: $$ \begin{cases} px+y+z=2\\ 2x+py+p^2z=1\\ 2x+y+z=2 \end{cases} $$
b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas `p = 2`. [1 punt] -(2021-juny-2-5). a) Donada la matriu $$ A=\begin{pmatrix} 0&0&1\\\ 1&0&0\\\ 0&1&0 \end{pmatrix} $$ , resoleu l’equació matricial `A^2 X =A– 3I`, en què `I` és la matriu identitat. [1,25 punts] b) Una matriu quadrada `M` satisfà que `M^3 – 3M^2 + 3M – I = 0`, en què `I` és la matriu identitat. Justifiqueu que M és invertible i expresseu la inversa de `M` en funció de les matrius `M` i `I`. [1,25 punts] -(2021-setembre-1-1). Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real k: $$ \begin{cases} x+ky+z=3+k\\ kx+y+z=4\\ x+3y+z=5 \end{cases} $$
b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas `k = 1`, i feu-ne una interpretació geomètrica. [1,25 punts] -(2021-setembre-1-5). Sigui la matriu $$ A=\begin{pmatrix} a&a&0\\\ 2&a+1&a-1\\\ 2a+1&0&-a-3 \end{pmatrix} $$ , en què `a` és un paràmetre real.
b) Comproveu que, per al cas `a = 3`, la matriu `A` és invertible i resoleu l’equació matricial `AX = B – 3I`, en què `B` és la matriu: [1,5 punts] B=\begin{pmatrix} 6&3&3\\\ 2&5&2\\\ 1&1&4 \end{pmatrix} $$ -(2020-juny-1-2). Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `k`: $$ \begin{cases} 5x+y+4z=19 \\ kx+2y+8z=28 \\ 5x+y-kz=23+k \end{cases} $$
b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas `k = 0`. SOLUCIÓ -(2020-juny-1-5). Sigui la matriu: $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\\ -3 & -4 \end{pmatrix} $$
b) Comproveu que la matriu X és invertible i calculeu-ne la matriu inversa. SOLUCIÓ -(2020-juny-3-1). Sigui la matriu: $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\ 1 & -1 & 1\\\ 0 & a & 1 \end{pmatrix} $$ , en què `a` és un paràmetre real.
b) Comproveu que `det(A^2 + A) = 0`. SOLUCIÓ -(2020-juny-3-3). Considereu el sistema d'equacions lineals següent: $$ \begin{cases} ax+y=a \\ x+ay+z=5 \\ x+2y+z=5 \end{cases} $$
b) Resoleu el sistema per al cas `a = 2`. SOLUCIÓ -(2020-setembre-4-4). Sigui la matriu: $$ A=\begin{pmatrix} a & -3 & 0\\\ 4 & a-7 & 1\\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} $$ , en què `a` és un paràmetre real.
b) Comproveu que per a `a = 4` la matriu `A` és invertible i que es verifica que `A^(-1) = A^2`. SOLUCIÓ -(2019-juny-1-2). Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `k`: $$ \begin{cases} x+3y+2z=-1 \\ x+k^2y+3z=2k \\ 3x+7y+7z=k-3 \end{cases} $$
b) Resoleu el sistema per al cas `k = –1`. SOLUCIÓ -(2019-juny-4-3). Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `a`: $$ \begin{cases} ax+7y+5z=0 \\ x+ay+z=3 \\ y+z=-2 \end{cases} $$
b) Resoleu el sistema per al cas `a = 2`. SOLUCIÓ |