ÀLGEBRA



-(2025-juny-1-2) Considereu el sistema d’equacions lineals següent:
$$
\begin{cases}
y-z=p+3\\
p^2x-z=5\\
x-y=3
\end{cases}
$$
    a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre p.
    [1,25 punts]

    b) Resoleu el sistema per al cas `p = –1`.
    [0,5 punts]

    c) Per al cas `p = –1`, hi ha alguna solució que compleixi, a més, `xy = 10`? En cas afirmatiu, indiqueu quantes n’hi ha i trobeu-les totes.
    [0,75 punts]


SOLUCIÓ


-(2025-juny TEI-4-4B) Considereu les matrius:
$$
A=\begin{pmatrix}
a&0\\\
1&a^2
\end{pmatrix}
$$
, on a és un paràmetre real, i
$$
B=\begin{pmatrix}
2&0\\\
1&4
\end{pmatrix}
$$

a) Trobeu els valors de `a` que fan que les matrius `A` i `B` commutin. (Dues matrius `A` i `B` commuten si `A B = B A`.)
[0,75 punts]

b) Trobeu els valors de `a` per als quals la matriu `A` és invertible.
[0,75 punts]

c) Trobeu els valors de `a` per als quals `A^(–1) = A`.
[1 punt]


SOLUCIÓ



-(2025-setembre-1-2) Considereu el sistema d’equacions lineals següent:

$$
\begin{cases}
x+3y+z=5\\
mx+2z=0\\
my-z=m
\end{cases}
$$


    a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre `m`.
    [1,25 punts]

    b) Resoleu el sistema per a `m = 1`.
    [0,5 punts]

    c) Resoleu el sistema quan aquest tingui infinites solucions.
    [0,75 punts]


SOLUCIÓ



-(2024-juny-1-2) Considereu el sistema d’equacions següent:
$$
\begin{cases}
4x+2y-z=4\\
x-y+kz=3\\
3x+3y=1
\end{cases}
$$
on `k` és un paràmetre real.

    a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre `k`, i resoleu-lo per a `k = 0`.
    [1 punt]

    b) Resoleu el sistema per a `k = –1`.
    [0,75 punts]

    c) Per a `k = –1`, modifiqueu la tercera equació de manera que el sistema esdevingui incompatible. Justifiqueu la resposta.
    [0,75 punts]


SOLUCIÓ



-(2024-juny TEI-5-2) Considereu les matrius,
$$
P=\begin{pmatrix}
2&1&-1\\\
2&1&0\\\
1&0&1
\end{pmatrix},
Q=\begin{pmatrix}
2&2&2\\\
2&2&2\\\
2&2&2
\end{pmatrix},
R=\begin{pmatrix}
1&2&3\\\
1&1&1\\\
3&2&1
\end{pmatrix}
$$
a) Decidiu si la matriu `P` és invertible i, en cas de ser-ho, calculeu la seva inversa. Expliqueu detalladament el procediment seguit.
[1,25 punts]

b) Calculeu una matriu `X` de `3` files i `3` columnes que compleixi `P X + Q = 2R`.
[1,25 punts]


SOLUCIÓ



-(2024-setembre-3-2) Considereu el sistema d’equacions següent, on `m` és un paràmetre real:

$$
\begin{cases}
x-3y+mz=-2\\
x+my+2z=3\\
x+y+2z=m
\end{cases}
$$

    a) Discutiu el sistema segons el valor del paràmetre `m`.
    [1,25 punts]

    b) Trobeu la solució del sistema per a `m = 0`.
    [0,5 punts]

    c) Per a `m = 2`, doneu una solució `(x, y, z)` del sistema que, a més a més, compleixi `x = 5y`.
    [0,75 punts]


SOLUCIÓ



-(2023-juny-1-2) Considereu les dues matrius següents:
$$
A=\begin{pmatrix}
2&-3&-5\\\
-1&4&5\\\
1&-3&-4
\end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix}
2&2&0\\\
-1&-1&0\\\
1&2&1
\end{pmatrix}
$$
    a) Calculeu les matrius `A · B` i `B · A`. [1,5 punts]

    b) Siguin `C` i `D` dues matrius quadrades del mateix ordre que satisfan `C · D = C` i `D · C = D`. Comproveu que les dues matrius, `C` i `D`, són idempotents. [1 punt]
    Nota: Una matriu quadrada s’anomena idempotent si coincideix amb el seu quadrat.


SOLUCIÓ



-(2023-juny-1-4) Sigui el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `\lambda`:
$$
\begin{cases}
x+2\lambda y+(2+\lambda)z=0\\
(2+\lambda)x+y+2\lambda z=3\\
2\lambda x+(2+\lambda)y+z=-3\end{cases}
$$
    a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre `\lambda`. [1,25 punts]

    b-Per al cas `\lambda = –1`, resoleu el sistema, interpreteu-lo geomètricament i identifiqueu-ne la solució. [1,25 punts]


SOLUCIÓ



-(2023-setembre-2-1) Siguin
$$
A=\begin{pmatrix}
2&1\\\
3&2
\end{pmatrix},
B=\begin{pmatrix}
2&-1\\\
-3&2
\end{pmatrix}
$$
i la matriu identitat d'ordre dos
$$
I=\begin{pmatrix}
1&0\\\
0&1
\end{pmatrix}
$$

    a) Comproveu que `(A-2I)^2=3I` [0,5 punts]


    b) Utilitzant la igualtat de l’apartat anterior, trobeu la matriu inversa de la matriu `A` en funció de les matrius `A` i `I`, i comproveu que coincideix amb la matriu `B`. [1,25 punts]


    c) Calculeu la matriu `X` que satisfà la igualtat `A · X = B`. [0,75 punts]



SOLUCIÓ



-(2023-setembre-2-3) Sigui el sistema d’equacions lineals , en què `m` és un nombre real.
$$
\begin{cases}
2x+y=1+z\\
my+z=2-x\\
mz+3=3x+y
\end{cases}
$$
    a) Discutiu el sistema segons els valors del paràmetre `m`. [1,25 punts]


    b) Resoleu el sistema, si té solució, per al cas `m = 1`. [1,25 punts]

SOLUCIÓ



-(2020-juny-1-2). Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `k`:
$$
\begin{cases} 5x+y+4z=19 \\
kx+2y+8z=28 \\
5x+y-kz=23+k \end{cases}
$$
    a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre `k`.

    b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas `k = 0`.


SOLUCIÓ



-(2020-juny-1-5). Sigui la matriu:
$$
A=\begin{pmatrix}
1 & 1\\\
-3 & -4
\end{pmatrix}
$$
    a) Trobeu la matriu `X` que satisfà l'equació `AX = I - 3X`, en què `I` és la matriu identitat d'ordre 2.

    b) Comproveu que la matriu X és invertible i calculeu-ne la matriu inversa.


SOLUCIÓ



-(2020-juny-3-1). Sigui la matriu:
$$
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2\\\
1 & -1 & 1\\\
0 & a & 1
\end{pmatrix}
$$
, en què `a` és un paràmetre real.

    a) Determineu el rang de la matriu `A` en funció del paràmetre `a`.

    b) Comproveu que `det(A^2 + A) = 0`.



SOLUCIÓ



-(2020-juny-3-3). Considereu el sistema d'equacions lineals següent:
$$
\begin{cases} ax+y=a \\
x+ay+z=5 \\
x+2y+z=5 \end{cases}
$$
    a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre `a`.

    b) Resoleu el sistema per al cas `a = 2`.


SOLUCIÓ



-(2020-setembre-4-4). Sigui la matriu:
$$
A=\begin{pmatrix}
a & -3 & 0\\\
4 & a-7 & 1\\\
1 & -1 & -1
\end{pmatrix}
$$
, en què `a` és un paràmetre real.

    a) Estudieu el rang de la matriu `A` per als diferents valors del paràmetre `a`.

    b) Comproveu que per a `a = 4` la matriu `A` és invertible i que es verifica que `A^(-1) = A^2`.



SOLUCIÓ



-(2019-juny-1-2). Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `k`:
$$
\begin{cases} x+3y+2z=-1 \\
x+k^2y+3z=2k \\
3x+7y+7z=k-3 \end{cases}
$$
    a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre `k`.

    b) Resoleu el sistema per al cas `k = –1`.


SOLUCIÓ



-(2019-juny-4-3). Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `a`:
$$
\begin{cases} ax+7y+5z=0 \\
x+ay+z=3 \\
y+z=-2 \end{cases}
$$
    a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre `a`.

    b) Resoleu el sistema per al cas `a = 2`.


SOLUCIÓ