1-(2020-juny-1) 5. Sigui la matriu: $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\\ -3 & -4 \end{pmatrix} $$ a) Trobeu la matriu `X` que satisfà l'equació `AX = I - 3X`, en què `I` és la matriu identitat d'ordre 2. b) Comproveu que la matriu X és invertible i calculeu-ne la matriu inversa. a) `AX=I-3X => AX+3X=I => (A+3)X=I =>` `(A+3)^{-1}(A+3)X=(A+3)^{-1}·I => X=(A+3)^{-1}` $$ A+3=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -3 & -4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3 & 0\\\ 0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 1\\\ -3 & -1\end{pmatrix} $$ Calculem la inversa de `(A+3) = (A+3)^(-1)` Primer el determinant per veure que té inversa, `det(A+3)=-4+3=-1` $$(A+3)^t=\begin{pmatrix}4 & -3\\\ 1 & -1\end{pmatrix}$$ $$((A+3)^t)^*=\begin{pmatrix}-1 & -1\\\ 3 & 4\end{pmatrix}$$ $$X=(A+3)^{-1}=\frac{((A+3)^t)^*}{det(A+3)}=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -3 & -4\end{pmatrix}$$ $$X=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -3 & -4\end{pmatrix}$$ b) `det X = -4+3=-1 \ne 0 =>` té inversa `AX=I-3X => AX+3X=I => (A+3)X=I => (A+3)=X^(-1)` $$ X^{-1}=A+3=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -3 & -4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3 & 0\\\ 0 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 1\\\ -3 & -1\end{pmatrix} $$ $$ X^{-1}=\begin{pmatrix}4 & 1\\\ -3 & -1\end{pmatrix} $$ No es demana, però podem comprovar que és la inversa: $$X·X^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -3 & -4\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}4 & 1\\\ -3 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1·4+1·(-3) & 1·1+1·(-1)\\\ (-3)·4+(-4)·(-3) & (-3)·1+(-4)·(-1)-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}$$