Sigui el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `\lambda`:
$$
\begin{cases}
x+2\lambda y+(2+\lambda)z=0\\
(2+\lambda)x+y+2\lambda z=3\\
2\lambda x+(2+\lambda)y+z=-3\end{cases}
$$
a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre `\lambda`. [1,25 punts]

Solució:
    Cal calcular el rang de la matriu i l'ampliada en funció de `lambda`

    $$
    \begin{vmatrix}
    1&2\lambda&2+\lambda\\\
    2+\lambda&1&2\lambda\\\
    2\lambda&2+\lambda&1
    \end{vmatrix}=
    $$
    `1+8lambda^3+(2+lambda)^3-(4lambda+2lambda^2)-(4lambda+2lambda^2)-(4lambda+2lambda^2)=0`


    `1+8lambda^3+(2+lambda)^3-3(4lambda+2lambda^2)=0`


    `1+8lambda^3+8+12lambda+6lambda^2+lambda^3-12lambda-6lambda^2=0`


    `9lambda^3+9=0`


    `9(lambda^3+1)=0`

         | 1  0  0 1
     | 
  -1 |   -1  1 -1
-----+------------------------
       1 -1  1  0


    `9(lambda+1)(lambda^2-lambda+1)=0`

    L'equació de segon grau no té cap arrel real ja que el discriminant és negatiu:

    `lambda=(1+-\sqrt{1-4})/2`

    O sigui l'única solució és `lambda=-1`

    El que implica si `lambda \ne -1`

    Determinant de la matriu del sistema `\ne 0 =>` Rang matriu sistema `=3` Rag ampliada `=3` ja que tenim `3` files `=>`

    Sistema compatible i determinat, una única solució


    Si `lambda=-1` Determinat matriu del sistema `=0` Rang matriu del sistema `<2`

    Anem a calcular el determinat d'un menor de la matriu ampliada, dues primeres columnes i termes independents (recordem `lambda=-1`).

    Agafem la primera matriu d'ordre dos:
    $$
    \begin{vmatrix}
    1&-2\\\
    1&1
    \end{vmatrix}=1+2=3\ne0 =>
    $$
    Rang matriu del sistema `=2`. Orlem amb la única matriu `3x3` de la matriu ampliada i calculem el determinant.
    $$
    \begin{vmatrix}
    1&-2&0\\\
    1&1&3\\\
    -2&1&-3
    \end{vmatrix}=-3+12+0-(0+3+6)=0 =>
    $$
    Rang matriu ampliada no és `3 =>` Rang matriu ampliada és `2 =>` com els rang son iguals i més petits que el número d'incògnites.

    Sistema compatible indeterminat


b-Per al cas `\lambda = –1`, resoleu el sistema, interpreteu-lo geomètricament i identifiqueu-ne la solució. [1,25 punts]

Solució:
    $$
    \begin{cases}
    x-2y+z=0\\
    x+y-2z=3\\
    -2x+y+z=-3\end{cases}
    $$

    Fem Gauss. A la 1a 2a li resto la primera i a la 3a li sumo 2 vegades la primera
    $$
    \begin{cases}
    x-2y+z=0\\
    3y-3z=3\\
    -3y+3z=-3\end{cases}
    $$

    A la tercera li sumo la segona
    $$
    \begin{cases}
    x-2y+z=0\\
    3y-3z=3\\
    0=0\end{cases}
    $$

    O sigui és un sitema compatible indeterminat, ja que ens han quedat dues equacions, linealment independents, el rang de la matriu del sistema val `2` ja que:

    $$
    \begin{vmatrix}
    1&-2\\\
    0&3
    \end{vmatrix}=3
    $$

    Diferent de `0` i com que hi ha dues equacons el rang de l'ampliada no pot ser més gran que `2`.

    `Rang A = Rang A' <` número d'incògnites. Sistema compatible indeterminat.

    El que ens queda és
    $$
    \begin{cases}
    x-2y+z=0\\
    3y-3z=3\end{cases}
    $$

    Que és l'equació d'una recta. L'interpretació geomètrica del sistema és: Tres plans que es tallen en una recta. Si el que volem com a solució és l'equació vectorial podem segir fent Gauss.

    $$
    \begin{cases}
    x-2y+z=0\\
    3y-3z=3\\
    z=\lambda\end{cases}
    $$
    $$
    \begin{cases}
    x-2y+\lambda=0\\
    3y-3\lambda=3\\
    z=\lambda\end{cases}
    $$
    $$
    \begin{cases}
    x-2y=-\lambda\\
    3y=3+3\lambda\\
    z=\lambda\end{cases}
    $$
    $$
    \begin{cases}
    x-2y=-\lambda\\
    y=1+\lambda\\
    z=\lambda\end{cases}
    $$
    $$
    \begin{cases}
    x-2(1+\lambda)=-\lambda\\
    y=1+\lambda\\
    z=\lambda\end{cases}
    $$
    $$
    \begin{cases}
    x=2+\lambda\\
    y=1+\lambda\\
    z=0+\lambda\end{cases}
    $$

    I ho podem posar com equació vectorial:

    `(x,y,z)=(2,1,0)+lambda(1,1,1)`


    `(2,1,0)` vector de posició i `(1,1,1)` vector director.