|
Geometria de l’espai 1. (2009-juny-4) 1. Donats el punt P = (1, 2, 3) i la recta r
: a) Trobeu l’equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla π que passa per P i és perpendicular a la recta r. b) Trobeu el punt de tall entre la recta r i el pla π. [1 punt per cada apartat]
2. (2009-juny-4) 6. Siguin r i s dues rectes de l’espai les equacions respectives de les quals, que depenen d’un paràmetre real b, són les següents:
a) Trobeu el punt de tall de la recta r amb el pla d’equació x = 0 i el punt de tall de la recta s amb aquest mateix pla. b) Calculeu un vector director per a cada una de les dues rectes. c) Estudieu la posició relativa de les dues rectes en funció del paràmetre b. [1 punt per l’apartat a; 1 punt per l’apartat b; 2 punts per l’apartat c]
3. (2009-juny-3) 4. Donats el pla π: x + 2y – z = 0 i el punt P = (3, 2, 1): a) Calculeu l’equació contínua de la recta r que passa per P i és perpendicular a π. b) Calculeu el punt simètric del punt P respecte del pla π. [1 punt per cada apartat]
4. (2009-juny-3) 6. Siguin P = (3 – 2a, b, –4), Q = (a – 1, 2 + b,
0) i R = (3, –2, –2) tres punts de l’espai a) Calculeu el valor dels paràmetres a i b per als quals aquests tres punts estiguin alineats. b) Trobeu l’equació contínua de la recta que els conté quan estan alineats. c) Quan b = 0, trobeu els valors del paràmetre a perquè la distància entre els punts P i Q sigui la mateixa que la distància entre els punts P i R. d) Si b = 0, calculeu el valor del paràmetre a perquè els punts P, Q i R determinin un triangle equilàter. [1 punt per cada apartat]
5. (2009-setembre-1) 2. Considereu en l’espai
en què m és un paràmetre real. Estudieu si hi ha cap valor d’aquest paràmetre per al qual les rectes siguin perpendiculars i es tallin. [2 punts]
6. (2009-setembre-1) 4. Donats els vectors a) Calculeu l’angle que formen b) Trobeu el valor del paràmetre a perquè els vectors [1 punt per cada apartat]
7. (2010-juny-1) 1. Trobeu l’equació general (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla que conté
la recta [2 punts]
8. (2010-juny-1) 4. Donades les rectes a) Comproveu que són paral·leles. b) Trobeu l’equació general (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla que les conté. [1 punt per cada apartat]
9. (2010-juny-4) 1. Donats el pla p: x + 2y + 3z – 4 = 0 i els punts P = (3, 1, –2) i Q = (0, 1, 2): a) Calculeu l’equació contínua de la recta perpendicular al pla p que passa pel punt P. b) Calculeu l’equació general (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla perpendicular a p que passa pels punts P i Q. [1 punt per cada apartat]
10. (2010-juny-5) 2. Donats el punt P = (1, 0, –2) i la recta a) Trobeu l’equació contínua de la recta que passa pel punt P i talla perpendicularment la recta r. b) Calculeu la distància del punt P a la recta r. [1,5 punts per l’apartat a; 0,5 punts per l’apartat b]
11. (2010-juny-5) 5. Siguin r i s dues rectes d’equacions
a) Trobeu el valor del paràmetre a perquè aquestes rectes es tallin. b) En el cas en què es tallen, trobeu l’equació general (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla que les conté. [1,5 punts per l’apartat a; 0,5 punts per l’apartat b]
12. (2010-setembre-2) 2. Donats el pla π :5x + y + 3z = 4 i la recta [2 punts]
13. (2010-setembre-2) 6. Considereu la recta a) Trobeu els dos punts, A i B, de la recta r que estan situats a una distància d = √6 del punt P = (–1, 1, 2). b) Trobeu l’àrea del triangle de vèrtexs A, B i P. [1 punt per cada apartat]
14. (2011-juny-1) 1. Donada la recta a) Trobeu-ne un vector director. b) Calculeu l’equació contínua de la recta paral·lela a r que passa pel punt P=(1, 0, −1). [1 punt per cada apartat]
15. (2011-juny-1) 5. Siguin a) Comproveu que r1 i r2 són perpendiculars. b) Comproveu que es tallen mitjançant la determinació del punt de tall. [1 punt per cada apartat]
16. (2011-juny-4) 2. Donat el pla π :2x+y−z=5: a) Calculeu l’equació del pla paral·lel al pla π que passa pel punt P=(1, 0, −1). b) Determineu també la distància entre el punt P i el pla π. [1 punt per cada apartat]
17. (2011-juny-4) 5. Calculeu l’equació general (és a dir, de la forma Ax+By+Cz+D=0)
dels plans que contenen la recta [2 punts]
18. (2011-setembre-2) 2. Donada la recta Ax + By + Cz +D= 0) del pla perpendicular a la recta que passa pel punt P = (1, 0, –1).
19. (2011-setembre-2) 5. Considereu la recta π :2x+ y−5z=5. a) Estudieu la posició relativa de la recta r i el pla π en funció del paràmetre a. b) Quan a = 3, calculeu la distància de la recta r al pla π. [1 punt per cada apartat]
|
