Recull d'exercicis de selectivitat. Geometria

3. (2009-juny-3) 4.Donats el pla π: x + 2y – z = 0 i el punt P = (3, 2, 1):
a) Calculeu l’equació contínua de la recta r que passa per P i és perpendicular a π.
b) Calculeu el punt simètric del punt P respecte del pla π.
[1 punt per cada apartat]

a)

El vector director de la recta pot ser l'associat de π

b)

Per trobar el punt simètric primer trobarem la projecció del punt P respecte al pla π. Que no és més que la interssecció entre el pla i la recta perpendicular que passa per P.

Les equacions pramètriques de la recta.

x = 3 + t
y = 2 + 2t
z = 1 - t

Ho substituïm a l'equació del pla.

x + 2y – z = 0

(3 + t) + 2(2 + 2t) - (1 - t) = 0
3 + t + 4 + 4t - 1 + t = 0
6t + 6 = 0
t = -1

Ho sigui la projecció és:

x = 3 + (-1)
y = 2 + 2·(-1)
z = 1 - (-1)

x = 2
y = 0
z = 2

M = (2, 0, 2)

Per trobar el punt simètric cal primer trobar el vector

PM = (2, 0, 2) - (3, 2, 1) = (-1, -2, 1)

I sumar-lo al punt M

Psimètric = (2, 0, 2) + (-1, -2, 1) = (1, -2, 3)