CINEMÀTICA PREVIS (per si us ajuda): Abans de començar fora bo que algú us hagés parlat de, magnituds físiques, unitats, concepte de velocitat, i sobretot de velocitat mitjana. Si algú us hagués parlat del concepte de derivada i integral molt millor. Tot i que parlant d'aquestes coses és un bon lloc per entendre aquests conceptes. Un vídeo que a lo millor ens inspira: Penseu que `x=t` que `f(x)=e(t)` i que `(f(x+h)-f(x))/h` no és res més que la velocitat mitjana entre `x` i `x+h`. `h` no és res més que `(x+h)-x=h`, el temps entre l'instant `x` i l'instant `x+h`. I, finalment, recordeu, això és una altra manera de escriure-ho: Que, en el cas de la velocitat, en parlem de seguida: Magnituds físiques, velocitat i acceleració:
Acceleració `\vec{a}=(d \vec{v(t)})/dt=(d^2 \vec{e(t)})/dt^2` Si parlem de moviment rectilini (no cal notació vectorial).
Acceleració `a(t)=(d v(t))/dt=(d^2 e(t)}/dt^2` Si coneixem l'acceleració `a(t)` podem calcular la velocitat: (antiderivada de l'accleració, a mates se'n diu integral) I si coneixem la velocitat `v(t)` podem calcular l'espai en funció del temps: EXEMPLE 1. Equacions de moviment pel moviment rectilini i uniforme `a(t)=0` (MRU).
O sigui la velocitat serà constant. Això és el que té un moviment que l'acceleració és `0`. L'acceleració és el canvi en la velocitat, si val `0`, no hi ha canvi per la qual cosa la velocitat és sempre la mateixa. Anem per qual val l'equació de moviment, la que ens expressa l'espai (posició) en funció del temps.
O sigui l'espai recorregut és velocitat per temps (`v_0` és la velocitat inicial que n'hi hem dit) més un espai inicial, `e_0` en cas de què no hàgim començat en el lloc que cosniderem l'origen del moviment. EXEMPLE 2. Equacions de moviment pel moviment rectilini uniformement accelerat `a(t)=a_0` (MRUA). Que vol dir que el canvi en la velocitat és sempre el mateix.
O sigui la velocitat va creixent proporcionalment amb el temps, `a_o t` i li afegim una velocitat inicial, `v_0` en el cas de que al que considerem origen del moviment ja es portés una certa velocitat. Pels que els agradin les mates aquestes constant que van sortint, `e_0`, `v_0` i `a_0` no són res més que les "famosses" constant d'integració. Anem per l'equació de moviment pel, moviment rectilini uniformement accelerat.
Problema 1 - Exemple 2. Quina és l'equació de moviment d'una pedra que deixem caure en un pou sabent que és un moviment rectilini uniformement accelerat amb valor de l'acceleració `g=9,91 m/s^2`. SOLUCIÓ: Considerem l'origen del moviment dalt del pou, on deixem caure la pedra. Per la qual cosa `e_0=0` i com el deixem anar, `v_0=0`. `e(t) = 1/2 a_0t^2+v_0t+e_0 = 1/2g t^2+0·t+0= 1/2·9,81t^2=4'905·t^2` Problema 2 - Exemple 2. A partir del resultat del problema anterior calcular quina al profunditat té el pou fins a l'aigua si sentim la fressa d'entar a l'aigua al cap de `1` segon?. I, al cap de `2` i `3` segons? SOLUCIÓ: A partir de `e(t) = 4'905·t^2` l'únic que hem de fer és substituir pels valors. `e(1)=4'905·1^2=4'905 m` `e(2)=4'905*2^2 = 19,62 m` `e(3)=4'905*3^2 = 44,145 m` Comentari: Hi ha algú que diu que la físsica és la ciència de les aproximacions i en lloc de fer servir el valor de `g` que hem fet servir l'arredonim a `01` i l'equació de moviment queda: Llavors els espais recorreguts serian (i càlculats amb més instants de temps: `e(1)=5·1^2=5 m` `e(2)=5*2^2 = 20 m` `e(3)=5*3^2 = 45 m` `e(4)=5*4^2 = 80 m` `e(4)=5*5^2 = 125 m` Prohibit llegir això: Tenim la següent successió de nombres: `{e(1), e(2), e(3), e(4), e(5),...} = {5,20,45,80,125,...}` Que si, a partir del segon, restem els valors de cada un menys l'anterior (el que obtenim és l'espai recorregut per cada segon): `{e(1), e(2)-e(1), e(3)-e(2), e(4)-e(3), e(5)-e(4),...} = {5,15,25,35,45,...}` I, ja que ens agraden les mates ho dividim tot per `5`, `g` queda la succesió: `{1,3,5,7,9,...}` Curiós, no? Doncs val a dir que això és el que va descubrir Galileo i a partir d'aquí, va anar al revés del que hem fet i va descobrir les equacions del moviment uniformement accelerat que hem fet servir. NOTA 1: Lo de les derivades va venir més tard, amb Newton i Leibnitz, però Galileu va obrir traça. NOTA 2: Sempre m'ha fet certa perplexitat de fer les coses com les fem i no fer-les com les van fer les persones que van descobrir/inventar-les. Problema 3 - Exemple 2. Si el pou mesura 60 metres, quant temps trigarà la pedra a arribar a l'aigua?. SOLUCIÓ: Partim de la mateixa equació `e(t)=4'905t^2`, però ara el que sabem és `e(t)=60=4'905t^2` per la qual cosa caldrà resoldre una equació (de segon grau molt senzilla). `60=4'905t^2` `60/(4'905)=t^2` `t=\sqrt{60/(4'905)}=3,497487` segons. Problema 4 - Exemple 2. Si en Newton tira una pedra cap a munt a `30` m/s.
b) Quant espai haurà recorregut?  SOLUCIÓ: `a_1`) Considerarem el nivell del terra com l'origen de coordenades per la qual cosa, `e_0=0` i considerarem el sentit positiu cap a munt per la qual cosa la velocitat inicial `v_0=30` m/s. Tenint en compte això i que la gravetat va en sentit cap a vall l'acceleració `a=-9=10` m/`s^2`. Amb tot això: `e(t)= 1/2at^2+v_0t+e_0` `e(t)= 1/2·(-10t)^2+30t+0=-5t^2+30t` Volem saber quan, `t`, tornarà a tocar a terra, o sigui, `e(t)=0`. Per la qual cosa cal resoldre la següent equació: `-5t^2+30t=0` `(-5t+30)·t=0` Aquesta equació té dues solucions `t=0` Cosa que ja sabiem. El que ens està dient és que a l'instant inicial la pedra estava en el terra. `-5t+30=0 => -5t=-30 => t=(-30)/(-5)=6` segons Al cap de `6` segons tornarà a caure a terra. Com és un moviment simètric, el de pujada i el de baixada, haurà estat `3` segons pujant i `3` segons baixant. `a_2`) Per la qual cosa hauíem pogut resoldre l problema d'una altra manera. En lloc de fer servir l'equació del moviment, `e(t)` podíem haver fet servir la de la velocitat, `v(t)=a_0t+v_0`, que, en el nostre cas és: `v(t)=-10t+30` I calcular quan val `0`, que és quan es para. O sigui el moment que adquireix l'altura màxima. `-10t+30=0 => -10t=-30 => t=(-30)/(-10)=3` segons de pujada. Per la qual cosa si doblem el temps `3+3=6` segons que dura el viatge de pujada i de baixada. `b`) Amb tot això podem calcular el resultat de la segona pregunta, l'espai total. El que farem és calcular l'espai recorregut els `3` primers segons (la pujada) i doblar-lo per tenir en compte la pujada i la baixada. Una pregunta que es ga al lector és, per què no calculem l'espai recorregut a temps `=6` segons, `e(6)` i o restem de l'estai inicial `e(0)`? Per què no podem calcular l'espai recorregut fent servir l'expressió, `e(6)-e(0)`? Continuem amb la resposta proposta, calculem `e(3)`. Recordem, `e(t)= -5t^2+30t` `e(3)=-5*3^2+30*3 = 45` metres de pujada. Com cal calcular el doble, pujada-baixada, espai total `=4532=90` metres recorreguts en total. EXEMPLE 3. Deixem el moviment rectilini i anem a estudiar un moviment en dues dimensions. Recuperem el caràcter vectorial de les nostres magnituds físiques. Ho veurem en l'exemple de tirar una cosa, però no cal que sigui cap a munt. Pot ser una pedra, com les que tirem al riu, un xuc de pilota, un llançament de basket o un dispar d'una bala de canó.  El que cal saber és que si llancem una cosa amb un cert angle respecte a la horitzontal el que hem de fer es descomposar-ho en les seves dues components, la horitzontal `v_x=v·cos(\alpha)` i la vertical, `v_y=v·sin(\alpha)` sient `v` el mòdul de la velocitat.  I llavors tenir en compte que la component horitzontal es comporta com un moviment uniforme i la component vertical com un moviment uniformement accelerat de caiguda de cossos com els que hem vist un xic més amunt. Recordo que això és una simplificació del que succeeix a la realitat. No tenim en compte que quan tirem una cosa hi ha l'aire que frena el moviment i això fa que ni un moviment sigui uniforme (el horitzontal) ni el vertical, uniformement accelerat. A sobre la terra no és plana, sino esfèrica i complica un xic més l'assumpte i per acabar-ho d'adobar, la Terra gira. Això provoca unes forces "fictícies" ( no ve a compte parlar-ne anomenades, forces de Coriolis (es poden experimentar en els caballitos de fires) que fa, tot plegat, que encertar en un blanc sigui un xic més complicat. A velocitats baixes, no massa fregament de l'aire i no massa lluny el resultat del nostre model tan simple, vagi prou bé. Per explicar i ajudar a entendre tot plegat ho farem amb un exemple. Problema 1 - Exemple 3 Si disparem un canó que forma un angle amb l'horitzontal de 37º i la velocitat és de 350 m/s, quina és la distància que arribarà la bala? Suposant que el terra sigui horitzontal, no tenint en compte la resistència d el'aire ni les forces de Coriolis. Considerem el valor de `g=10` m/`s^2`. SOLUCIÓ:
`v_(0y)=350*sin(37) = 210,6352` m/s. La qual cosa vol dir que el vector `\vec{v_0}=(279,210)` arredonint. I tenint en compte el que hem dit, que l'horitzontal és un moviment uniforme i el vertical un uniformement accelerat i els signes que hem decidit en el problema anterior, l'equació, vectorial, de moviment, quedarà:
I la de la velocitat:
Les segones components les `y` és un moviment de pujada i baixada com l'anterior. Per lo que amb la segona component de `\vec{v(t)}`; `v_y=-10t+210`, calcularem el qtemps que triga a arribar a dalt `v_y=0`. `-10t+210=0 => t=21` segons. El que fa que la bala pugi durant `21` segons i baixi durant uns altres `21` segons. En total ha viatjat `42` segons. El moviment horitzontal `e_x=279t=279*42 = 11718` metres `\approx 11'7` km. Distància total recorreguda.
|