Model atòmic de Bohr. Àtom monoelectrònic. Càlcul de radi i la velocitat de l'electró. Càlcul de l'energia dels nivells.


Ingredients

    Càrrega de l'electró (valor absolut)

      `e`


    Massa de l'electró:

      `m`


    Càrrega nucli (valor absolut):

      `Q=Z·e`


    Segona llei de Newton:

      `F=m·a`


    Llei de Coulomb:

      `F=k·(Q·q)/d^2`


      `K=1/(4 pi epsilon)`


      `F=1/(4 pi epsilon)·(Q·q)/d^2`



    Acceleració centrípeta:

      `a_c=v^2/r`


    Moment angular quantificat:

      `L=m·v·t=n · ℏ`

      `v=(n·ℏ)/(m·r)`


Equacions:
      `f=m·a`


      `1/(4 pi epsilon)·(Q·q)/r^2=m·a_c`


      `1/(4 pi epsilon)·(Z·e·e)/r^2=m·v^2/r`


      `1/(4 pi epsilon)·(Z·e^2)/r=m·v^2`


      `Z·e^2 = 4 pi epsilon· m·v^2·r`


      `Z·e^2 = 4 pi epsilon· m·((n·ℏ)/(m·r))^2·r = 4 pi epsilon· (n^2·ℏ^2)/(m·r)`


      `r = 4 pi epsilon · (n^2·ℏ^2)/(m·Z·e^2)`


      `1/r=1/(4 pi epsilon) · (m·Z·e^2)/(n^2·ℏ^2)`


      `v=(n·ℏ)/(m·r)=(n·ℏ)/m · 1/(4 pi epsilon) · (m·Z·e^2)/(n^2·ℏ^2)`


      `v=1/(4 pi epsilon) · (Z·e^2)/(n·ℏ)`



Radi de les órbites possibles en funció d'n:
      `r=4 pi epsilon ·(n^2·ℏ^2)/(m·Z·e^2)`



Velocitat de les órbites possibles en funció d'n:
      `v=1/(4 pi epsilon) · (Z·e^2)/(n·ℏ)`



Energia (Energia cinètica + Energia Potencial):
      `E=K+V`


      `V=-\int_r^\infty (Ze^2)/(4 pi epsilon r^2) dr = -(Ze^2)/(4 pi epsilon r)`


      `K=1/2mv^2=1/2·1/(4 pi epsilon) · (Ze^2)/r = (Ze^2)/(8 pi epsilon r)`


      `E=(Ze^2)/(8 pi epsilon r)-(Ze^2)/(4 pi epsilon r)=-(Ze^2)/(8 pi epsilon r)`


      `E=-(Ze^2)/(8 pi epsilon r)=(Ze^2)/(8 pi epsilon)·1/r=(Ze^2)/(8 pi epsilon)1/(4 pi epsilon) · (m·Z·e^2)/(n^2·ℏ^2)=-(mZ^2e^4)/(2(4 pi epsilon ℏ)^2)·1/n^2`


      `n = 1, 2, 3, ...`




Exemple: Càlcul del color (longitud d'ona) del primer nivell de l'espectre de la sèrie de Balmer. Del 3r al 2n.
    `C=e^2/(4 pi epsilon ℏ)=e^2/(4 pi epsilon h/(2 pi))= e^2/(2 epsilon h)=(-1'602176565·10^(-19))^2/(2·8'8541878176·10^(-12)·6'62607015·10^(-34))=2'18769107·10^6 m/s`


    `E=-(mZ^2e^4)/(2(4 pi epsilon ℏ)^2)·1/n^2=-(mZ^2C^2)/2·1/n^2`

En el cas de l'àtom d'H, `Z=1`
    `E=-(mC^2)/2·1/n^2=-(9'10938291·10^(-31)·(2'18769107·10^6)^2)/2·1/n^2=-2'17987178·10^(-18)·1/n^2 J`


Per trobar les diferències d'energies entre nivells:
    `E=-2'17987178·10^(-18)·(1/n_1^2 - 1/n_2^2) J`


On `n_1` és el nivell inicial de l'electró i `n_2` el nivell final.

Per exemple si `n_1=3` i `n_2=2`
    `Delta E=-2'17987178·10^(-18)·(1/3^2 - 1/2^2) = 3'02759969·10^(-19) J`


Per saber a quina longitud d'ona és això, fem servir:

`E=(hc)/lambda => lambda = (hc)/E = (6'62607015·10^(-34)·299792458)/(3.02759969·10^(-19))=6'56112452·10^(-7)` `m =656'11` `nm`


Qué és la 1a línia visible de la sèrie de Balmer de l'espectre de l'àtom d'Hidrògen que es troba al vermell.