El problema de la braquistòcrona Exemple d'aplicació de l'equació d'Heuler per resoldre el problema de la braquistòcrona. Com que `(de)/(dt) => dt=(de)/v => T=\int (de)/v` Per anar d'un puno a l'altre si coneixem la velocitat en cada moment, podem saber el temps total integrant: `T=\int_(_(0,0))^(_(x_2,y_2))(de)/v=\int_(_(0,0))^(_(x_2,y_2))sqrt(dx^2+dy^2)/sqrt(2gx)=\int_0^(x_2)sqrt((1+(y')^2)/(2gx)` Nosaltres voler cercar la trajectoria que fa que aquest temps sigui mínim, per la qual cosa, la nostra funció `f` és: `f=sqrt((1+(y')^2)/(2gx)` L'equación d'Euler és `(df)/(dy)-d/(dx)(df)/(dy')=0` En el nostre cas, el primer sumand és, `(df)/(dy)=0`. ja que `f` no depend d'`y`. Per la qual cosa, `d/(dx)(df)/(dy')=0` El que implica que `f` no depèn d'`x`. Per la qual cosa: `(dsqrt((1+(y')^2)/(2gx)))/(dy')=` constante `=1/sqrt(2ga)` A la constant l'anomenem `1/sqrt(2ga)` Si derivem el primer membre: `(dsqrt((1+(y')^2)/(2gx)))/(dy')=1/sqrt(2gx)·(2y')/(2sqrt(1+(y')^2))=1/sqrt(2gx)·(y')/sqrt(1+(y')^2)` Si ho igualem a la constant: `1/sqrt(2gx)·(y')/sqrt(1+(y')^2)=1/sqrt(2ga)` Si elevem tot al quadrat: `(y')^2/(2gx(1+(y')^2))=1/(2ga)` Si aïllem `y'`. `(y')^2=x/(2a)(1+(y')^2)` `(y')^2(1-x/(2a))=x/(2a)` `(y')^2(2a-x)/(2a)=x/(2a)` `(y')^2(2a-x)=x` `(y')^2=x/(2a-x)` `(y')^2=x^2/(2ax-x^2)` `y'=x/sqrt(2ax-x^2)` `y=\int x/sqrt(2ax-x^2)dx` Si fem el canvi de variable: `x=a(1-cos theta)` `dx=asin theta d theta` Per la qual cosa: `y=\int (a(1-cos theta))/sqrt(2ax-x^2)·asin theta d theta` `y=\int a(1-cos theta) d theta` `y=a(theta-sin theta)+K` En resum: `x=a(1-cos theta)` `y=a(theta-sin theta)` Que són les equacions paramètriques d'una cicloide que passa per l'origen. Braquistòcrona