Problema del càlcul en variacions Determinar que `y(x) // J=\int_(x_1)^(x_2) f{y(x),y'(x),x} dx` sigui un extrem. Suposem que `y` depengui de `alpha`. `y(alpha,x)=y(0,x)+alpha·n(x)` `y(x) = y(a , x)` en `x_1` y `x_2 => n(x_1) = n(x_2) = 0` `J(alpha)=\int_(x_1)^(x_2) f{y(alpha,x),y'(alpha,x),x} dx` En demanar un extrem (les derivades són parciale): `[(dJ)/(d alpha)]_(alpha) =0` `(dJ(alpha))/(d alpha) = d/(d alpha) \int_(x_1)^(x_2) f{y,y',x} dx` `x_1` y `x_2` constants `(dJ(alpha))/(d alpha) = \int_(x_1)^(x_2) ((df)/(dy)·(dy)/(d alpha)+(df)/(dy')·(dy')/(d alpha))dx` `y(alpha,x)=y(x)+ alpha · n(x)` `y'(alpha, x)=y'(x)+alpha·n'(x)` `(dy)/(d alpha) = n(x)` `(dy')/(d alpha)=(dn(x))/(dx)` `(dJ(alpha))/(d alpha) = \int_(x_1)^(x_2) ((df)/(dy)·n(x)+(df)/(dy')·(dn(x))/(dx))dx = \int_(x_1)^(x_2) (df)/(dy)·n(x)dx +\int_(x_1)^(x_2) (df)/(dy')·(dn(x))/(dx)dx` El segon tèrme (recordem la fórmula d'integració per parts, `\int f'g = fg - \int fg'`), `\int_(x_1)^(x_2) (df)/(dy')·(dn(x))/(dx)dx=n(x)[(df)/(dy')]_(x_1)^(x_2) - \int_(x_1)^(x_2) d/dx(df)/(dy') n(x)dx` Com que `n(x_1)=n(x_2)=0` `(dJ(alpha))/(dalpha) = \int_(x_1)^(x_2)(df)/(dy)n(x)dx-\int_(x_1)^(x_2)d/(dx)(df)/(dy')n(x)dx = \int_(x_1)^(x_2)((df)/(dy)-d/(dx)(df)/(dy'))n(x)dx` Si hi ha un extrem ` => (dJ(alpha))/(d alpha)=0 =>` `(df)/(dy)-d/(dx)(df)/(dy')=0` Que s'anomena equació d'Euler.