2-Aprendre i SaberEquacions de segon grauQuè és una equació de segon grau?
I també com aquesta: Però no com aquesta: Però caldria que la persona sàpigues prèviament què vol dir l'expressió, equació matemàtica, i anant un xic més endarrera què vol dir, `6,0`, `-5`, `²`, `=`, ... i, també aquesta misteriosa `x`. Un pensament en veu alta, les matemàtiques s'espatllen quan un descobreix que no van de "numbrus", sinó de lletres :-( De moment no en sabem gaire cosa. El nom i tampoc tenim clar si sabríem distingir si una cosa semblant és o no una equació de segon grau com: Ni molt menys sabem per a què tenim necessitat d'una cosa així, o, millor dit, per què algú va inventar, o va donar nom, a una cosa com aquesta. Podríem continuar parlant de què és una solució d'una equació de segon grau. De bon principi farem l'esforç d'acceptar que sabem què vol dir que una cosa, en aquest cas, que un número sigui solució d'una equació i podem comprovar que, `3`, és una vertadera solució de la primera equació. I `5`, no és una solució: També, si som curiosos, ens podríem fer preguntes del tipus, aquesta equació té altres solucions? Totes les equacions tenen solucions? Tenim alguna forma de saber quines solucions té una equació de segon grau? Però, recordo, que sabem que continuem sense saber per què pot tenir importància (o interès) saber això. Ara imaginen-nos que algú ens diu: Si agafes el coeficient que multiplica a la `x` (-5), el canvies de signe (5), li sumes l'arrel quadrada d'aquest mateix número al quadrat, menys la multiplicació de `4` per el coeficient de la `x^2` (1) i per el terme independent (6) i el resultat el divideixes per `2` vegades el coeficient de la `x^2` (1) i calcules el resultat, trobaràs la, les solució/ons, en cas que en tingui i a sobre sabrem com saber si no en té. Lo del `pm` és perquè una arrel quadrada positiva té dos resultats, ex `\sqrt{4}= pm 2`. Fem els càlculs. I veiem que ens dona dues solucions `x_1=(5+1)/2 = 3` i `x_2=(5-1)/2 = 2`. `x_1` ja sabíem que ho era, podem calcular si ho és `x_2` Que efectivament ho és. Això no ens ha demostrat gairebé res, pot ser que sigui un conjunt d'operacions que, per casualitat, ens ha donat aquestes dues solucions, però tampoc sabem si n'hi ha alguna altra, ni, tampoc, sabem com saber si una equació de segon grau no té solucions, no hi ha cap número que ho compleixi. Però podem fer un acte de fe i creure'ns-ho i sempre que ens demanin resoldre una equació de segon grau fer servir la formuleta, comprovar si les solucions que ens donen, ho són, i donar-les com a resposta a la pregunta que ens fan a classe. Per entendre-ho millor escriurem la formuleta d'una forma més senzilla??? En primer lloc, direm que una equació de segon grau és una equació de la forma: On `a,b,c` són nombres i la fórmula per trobar la o les solucions, en cas que en tingui és: Ara podem, per exemple, resoldre l'altra equació: I com que sabem moltes matemàtiques, també, sabem que les arrels quadrades negatives (en els reals, no ho compliquem ;-) direm que aquesta equació no té solució. Ho sigui la formuleta no només ens dona les solucions, quan en té, sinó que també ens diu quan no en té. Quan el de dins de l'arrel quadrada és negatiu. Pels saberuts, això té un nom, es diu discriminant. (1) Amb això, podem dir què sabem què és una equació de segon grau? Fins ara, què és el que sabem? O el que se suposa que sabem? Doncs:
Però a continuació ve un profe guai (també pot ser a causa d'un alumne d'aquests preguntons que tot ho pregunta) que agafa una equació de segon grau i comença a fer jocs de mans, com si fos d'un truc de màgia: Ens diu que passem la `c` a l'altre costat. Ara que ho multipliquem tot per, `4a`. Ara que sumem `b^2` a cada costat. I ara que ens donem compte que `(2ax+b)^2` és igual al que tenim a l'esquerra. I: Ara el que ve és fàcil i tots ho sabem fer. Treure arrel quadrada a cada costat: I finalment passem el `b` a l'esquerra i el `2` dividint: I l'alumne diu, això no és un joc de mans, és un miracle. Acaba de descobrir una manera molt més complicada de resoldre una equació de segon grau i diu, jo amb l'equació, que prou m'ha costat aprendre-la i a saber fer-la servir, en faig prou. En cap moment pensa que aquests artilugis, de fet, són la demostració de per què la fórmula dona les solucions de l'equació de segon grau i, en general, continuarà amb la fe que la fórmula dona les solucions. En cap moment tenia la necessitat de la demostració de la fórmula i per no complicar més la situació aprendrà a fer servir la fórmula sense afegir cap pregunta, ja que ha descobert que si es fa, la cosa empitjora (tot i que es podria donar el cas de què l'alumne preguntón comenci a intuir què és el que ha passat). Però, independentment, de si hem entès alguna cosa o no. Ningú sap per què el profe ens parla d'aquestes coses. (2) Per la qual cosa, tot i sabent la demostració, ¿podem dir què sabem què és una equació de segon grau? EPÍLEG 1:
El que vull dir amb tot plegat és que, independentment de l'interès que pugui tenir un tema matemàtic, caldria començar-lo amb un problema a resoldre, una pregunta a contestar, o, quina cosa li passava pel cap a la persona que va decidir que això era un problema interessant a resoldre. (3) Si, a sobre, sabem quines preguntes vol respondre, quina necessitat vol cobrir, ¿podem dir què sabem què és una equació de segon grau? EPÍLEG 2:
(4) Si, a més a més o interrelacionem amb altres àmbits, ¿podem dir què sabem què és una equació de segon grau? ANNEX:
|
