Matemàtiques - 4t ESO - Funcions. Arrels
1- Si tens un quadrat que la seva àrea mesura `1 m^2`, pots dir quant mesura el seu costat? i si mesura `4 m^2`, i si en mesura `9 m^2`. Quin altre valor hauriem de demanar de l'àrea d'un quadrat de manera que també sortís un costat enter? I si l'àrea mesurés `20 m^2`, quant mesura el seu costat? Amb els valors trobats pots escriure'n una taula i fer-ne una representació gràfica del valor d'un costat d'un quadrat en funció de la seva àrea? Pots dir-nos quina fórmula descriu aquesta funció? Quin és el seu domini? Quin és el seu recorregut?
SOLUCIÓ:
Sabem que per calcular l'area d'un quadrat és costat al quadrat, `A=c^2`. Per la qual cosa si tenim l'àrea, per trobar el costat farem el pas al revés, o sigui, caldrà calcular l'arrel quadrada.
| `20 m^2` | `sqrt(20) = 4'47...m` |
`f(x)=sqrt(x)`
Domini `[0, +\infty)` i recorregut el mateix, `[0, +\infty)`.
2- Dibuixa amb el programa funcions la funció que acabes de trobar en l'exercici anterior.
SOLUCIÓ:
3- Estrictament parlant la funció arrel quadrada no és una funció, perquè? Com ho arreglem per que sigui considerada l'arrel quadrada una funció?.
SOLUCIÓ:
L'arrel quadrada de `4` té dos valors, `-1` i `1` i això pasa per qualsevol nombre positiu. Una funció ha de complir cada `x` com amàxim pot tenir una imatge. Per la qual cosa, `f(x)=sqrt(x)` té dues imatges per a tos els números positius. Per la qual cosa no podem considerar que, `f(x)=sqrt(x)` sigui una funció.
Com ho arreglem. Doncs, sempre que veiem, `f(x)=sqrt(x)` només considerarem el resultat positiu. Si interesés l'altra branca, llavors explícitament hauréim de dir que volen considerar els valors negatius. El dibuix de les dues funcions seria:
`f(x)=+sqrt(x)`
`f(x)=-sqrt(x)`
4- Dibuixa amb el programa funcions: (indica en cada cas el domini i el recorregut).
`f(x)=sqrt(x-3)`
`g(x)=sqrt(x+2)`
`h(x)=sqrt(-x+4)`
`i(x)=sqrt(-x-3)`
SOLUCIÓ:
`f(x)=sqrt(x-3)`
Domini `[3,+\infty)`
`g(x)=sqrt(x+2)`
Domini `[-2,+\infty)`
`h(x)=sqrt(-x+4)`
Domini `(-\infty,4]`
`i(x)=sqrt(-x-3)`
Domini `(-\infty,-3]`
En tots els casos el recorregut és `[0,+\infty)`
5- Si tens un cub que el seu volum mesura `1 m^3`, pots dir quant mesura el seu costat? i si mesura `8 m^3`, i si en mesura `27 m^3`. Quin altre valor hauriem de demanar al volum d'un cub de manera que també sortís un costat enter? I si el volum mesurés `25 m^3`, quant mesura el seu costat? Amb els valors trobats pots escriure'n una taula i fer-ne una representació gràfica del valor d'un costat d'un cub en funció del seu volum? Pots dir-nos quina fórmula descriu aquesta funció? Quin és el seu domini? Quin és el seu recorregut?.
SOLUCIÓ:
Sabem que per calcular el volum d'un cub cal elevar a 3. Per la qual cosa si tenim el volum i volem saber el que mesura el costat caldrà fer la operació invers, ho sigui fer l'arrel cúbica.
| `25 m^3` | `root(3){25}
= 2'92...m` |
`f(x)=root(3){x}`
En quant al domini i recorregut de la funció, `f(x)=root(3){x}` podem dir que tan una cosa com l'altre són tots els reals, `R`. Però en el nostre cas que la `x` representa un volum i la `y (f(x)`, la mesura d'un costat, en aquest cas, tant el domini com el recorregut són els positius, `[0,+\infty)`
6- Dibuixa amb el programa funcions la funció que acabes de trobar en l'exercici anterior. Resulta que també hi ha gràfica en la part negativa de l'eix de les `x`, té sentit considerar-ho en el context del problema anterior? Perquè tenen imatges les `x` negatives?.
SOLUCIÓ:
`f(x)=root(3){x}`
La segona part de la pregunta l'acabem de contestar en l'exercici anterior.
Existeixen arrels cúbiques de nombres negatius degut a que un nombre negatiu elevat al cub és negatiu, així doncs, `root(3){-8}=-2`
7- Dibuixa amb el programa funcions: (indica en cada cas el domini i el recorregut).
`f(x)=root(3){x}`
`g(x)=root(3){x-1}`
`h(x)=root(3){x+3}`
`i(x)=root(3){x-2}+1`
SOLUCIÓ:
`f(x)=root(3){x}`
`g(x)=root(3){x-1}`
`h(x)=root(3){x+3}`
`i(x)=root(3){x-2}+1`
En tots els casos tant el domini com el recorregut són tots els reals.
CONCLUSIONS: (a partir d'aquests exercicis i els anteriors)
Si mirem la última funció, `i(x)=root(3){x-2}+1`, descobrim que és igual que la primera, `f(x)=root(3){x}`, però desplaçada 2 a la dreta i pujada 1 unitat.
En general si tenim una funció, `j(x)=root(3){x-a}+b` és la mateixa funció que, `f(x)=root(3){x}`, però desplaçada a a la dreta i pujada b. Desplaçada el vector, `(a,b)`.
En exercicis anteriors també ho havíem descobert:
`h(x)=(x-a)^2+ b` és la mateixa funció que, `f(x)=x^2`, desplaçada, `(a,b)`.
`h(x)=1/(x-a)+ b` és la mateixa funció que, `f(x)=1/x`, desplaçada, `(a,b)`.
`h(x)=sqrt(x-a)+ b` és la mateixa funció que, `f(x)=sqrt(x)`, desplaçada, `(a,b)`.
Així per exemple si ens demanen l'equació de la funció a gràfica de la qual és:
És, `i(x)=root(3){x+1}+2` ja que és igual que, `f(x)=root(3){x}`, però desplaçada, `(-1,2)`.
I l'equació de la funció a gràfica de la qual és:
És, `j(x)=sqrt(x-3)-3` ja que és igual que, `f(x)=x^2`, però desplaçada, `(3,-3)`.
I l'equació de la funció a gràfica de la qual és:
És, `k(x)=1/(x+3)-2` ja que és igual que, `f(x)=1/x`, però desplaçada, `(-3,-2)`.
|