INTEGRAL DEFINIDA - Àrea del cercle Abans de començar calcularem una integral indefinida que ens serà útil més tard: `\int cos^2(x)dx` Recordem la fórmula de la integral per parts `\int f(x)·g'(x) = f(x)·g(x) - \int f'(x)·g(x)` `f(x)=cos(x) => f'(x)= -sin(x)` `g'(x)=cos(x) => g(x)= sin(x)` `\int cos^2(x)dx = \int cos(x)·cos(x) dx = cos(x)·sin(x)-\int -sin(x)·sin(x)dx = cos(x)·sin(x)+\int sin^2(x)dx` `\int cos^2(x)dx = cos(x)·sin(x)+\int sin^2(x)dx` `\int cos^2(x)dx = cos(x)·sin(x)+\int (1-cos^2(x))dx = cos(x)·sin(x)+\int 1 dx -\int cos^2(x)dx` `2\int cos^2(x)dx = cos(x)·sin(x)+\int (1-cos^2(x))dx = cos(x)·sin(x)+\int 1 dx = cos(x)·sin(x)+x` `\int cos^2(x)dx = 1/2[cos(x)·sin(x)+x]` (1) Per calcular l'àrea d'un cercle podem calcular l'àrea de una semicircumferència i umltiplicar per 2. I aquesta àrea no és més que (r és el radi del cercle): `\int_r^r sqrt(r^2-x^2) dx` Calcularem la integral indefinida i al final substituirem en els límits d'integració. `\int sqrt(r^2-x^2) dx = \int sqrt(r^2(1-x^2/r^2)) dx = r\int sqrt(1-x^2/r^2) dx` Per calcular la integral, `r\int sqrt(1-x^2/r^2) dx` farem el canvi de variable: `x/r=sin(t)` `dx/r=cos(t)dt => dx=rcos(t)dt` `r\int sqrt(1-x^2/r^2) dx = r\int sqrt(1-sin^2(t))·r·cos(t)dt = r^2\int cos(t)·cos(t)dt = r^2\int cos^2(t) dt` Si substituïm en el resultat la fórmula (1) `r^2\int cos^2(t) dt = r^2·1/2[cos(t)·sin(t)+t]` Desfem el canvi `x/r=sin(t) => t=arc sin(x/r)`: `r^2·1/2[cos(t)·sin(t)+t]` `r^2·1/2[sqrt(1-sin^2(t))·sin(t)+t]` `r^2·1/2[sqrt(1-sin^2(arc sin(x/r)))·sin(arc sin(x/r))+arc sin(x/r)]` `r^2·1/2[sqrt(1-(x/r)^2)·x/r + arc sin(x/r)]` En definitiva: `\int sqrt(r^2-x^2) dx = r^2·1/2[sqrt(1-x^2/r^2)·x/r + arc sin(x/r)]` Per la qual cosa la integral buscada: `\int_r^r sqrt(r^2-x^2) dx =r^2·1/2[sqrt(1-x^2/r^2)·x/r + arc sin(x/r)]_-r^r` `r^2·1/2[(sqrt(1-r^2/r^2)·r/r + arc sin(r/r))-(sqrt(1-(-r)^2/r^2)·(-r)/r + arc sin((-r)/r))]` Tenint en compte que, `sqrt(1-r^2/r^2)·r/r = sqrt(0)·1=0` `r^2·1/2[arc sin(1)-arc sin(-1)]` `r^2·1/2[\pi/2-(-\pi/2)]` `r^2·1/2·\pi=(r^2\pi)/2` I com això és l'àrea de mig cercle, si ho multipliquem per 2 tindrem l'àrea del cercle complert: Àrea cercle `= 2·(r^2\pi)/2 = r^2\pi`