1-Discuteix i resol si té solució:
$$
\begin{cases}
x-y+z=7\\
x+y-z=3\\
-x+y+z=1
\end{cases}
$$
SOLUCIÓ:
$$\left(\begin{array}{ccc|c}
1&-1&1&7\\
1&1&-1&3\\
-1&1&1&1
\end{array}\right)
$$
Cal calcular el rang de la matriu del sistema. El primer element és `1\ne0` rang `M>=1`:
Calculem el determinant de la matriu `2·2` que orla a aquest element.
$$
\begin{vmatrix}
1&-1\\\
1&1
\end{vmatrix}=1·1-(1·(-1))=1+1=2\ne0 => \text{rang}>=2
$$
Calculem el determinant de la matriu del sistema `3·3`:
$$
\begin{vmatrix}
1&-1&1\\\
1&1&-1\\\
-1&1&1
\end{vmatrix}= 1·1·1+(-1)·(-1)·(-1)+1·1·1-[(-1)·1·1+1·(-1)·1+1·(-1)·1]3+3=6\ne0=>
$$
Rang de la matriu del sistema 3. La matriu ampliada és `3·4 =>` rang no pot ser `>3 =>` Rang ampliada`=3`. Tenim:
| 3 | 3 | 3 | Compatible determinat |
Solució:
Equació inicial:
-x +y +z = +1
+x +y -z = +3
+x -y +z = +7
Canviat l'ordre de les equacions: 1ª, 2ª.
+x +y -z = +3
-x +y +z = +1
+x -y +z = +7
Multipliquem la 1ª equació per 1 i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 1 .
+x +y -z = +3
0x +2y 0z = +4
+x -y +z = +7
Multipliquem la 1ª equació per (-1) i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 1 .
+x +y -z = +3
0x +2y 0z = +4
0x -2y +2z = +4
Multipliquem la 2ª equació per 2 i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 2 .
+x +y -z = +3
0x +2y 0z = +4
0x 0y +4z = +16
Multipliquem la 3ª equació per 1 i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per 4 .
+4x +4y 0z = +28
0x +2y 0z = +4
0x 0y +4z = +16
Multipliquem la 2ª equació per (-4) i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per 2 .
+8x 0y 0z = +40
0x +2y 0z = +4
0x 0y +4z = +16
Dividim cada equació pel coeficient de la seva incògnita.
+x 0y 0z = +5
0x +y 0z = +2
0x 0y +z = +4
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT.
Solució:
x = +5
y = +2
z = +4
|