Teorema de Cauchy Siguin `f(x)` i `g(x)` dues funcions contínues en `[a , b]` i derivables en `(a , b)`. Existeix un punt `c` que pertany a `(a , b)` tal que: `(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=(f'(c))/(g'(c))` Demostració: La nostra fórmula és equivalent a: `[f(b)-f(a)]·g'(c)=[g(b)-g(a)]·f'(c)` Considerem la funció: `h(x)=[f(b)-f(a)]·g(x))-[g(b)-g(a)]·f(x)` 1) És contínua en en `[a,b]` per ser-ho `f(x)` i `g(x)`. 2) És derivable en `(a,b)` per ser-ho `f(x)` i `g(x)`. 3) `h(a)` = `h(b)` ja que: Calculem `h(a)`: `h(a) = [f(b) - f(a)] · g(a) - [g(b) - g(a)] · f(a)` Multipliquem: `f(b) · g(a) - f(a) · g(a) - g(b) · f(a) + g(a) · f(a)` Com tenim `- f(a) · g(a) + g(a) · f(a) = 0` queda: `h(a)=f(b) · g(a) - g(b) · f(a)` Calculem `h(b)`: `h(b) = [f(b) - f(a)] · g(b) - [g(b) - g(a)] · f(b)` Multipliquem: `f(b) · g(b) - f(a) · g(b) -g(b) · f(b) + g(a) · f(b)` Com tenim `f(b) · g(b) - g(b) · f(b) = 0` queda: `h(b)=- f(a) · g(b) + g(a) · f(b)` Que si ho canviem d'ordre veiem que és el mateix que `h(a)`. La derivada de `h(x)` és. Recordem que `[f(b) - f(a)]` i `[g(b) - g(a)]` són constants: `h'(x) = [f(b) - f(a)] · g'(x) - [g(b) - g(a)] · f'(x)` En resum `h(x)` compleix les condicions del teorema de Rolle que diu que existeix un `c` de l'interval `(a, b)` tal que `h'(c) = 0` `h'(c) = [f(b) - f(a)] · g'(c) - [g(b) - g(a)] · f'(c) = 0` Passem a l'altre costat lo de darrera de la resta i queda: `[f(b) - f(a)] · g'(c) = [g(b) - g(a)] · f'(c)` Canviem de costat el que multiplica passant a dividir i ens queda: `[f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)] = (f'(c))/(g'(c))`