(2025-setembre-3-4B) Considereu el pla `\pi: 2x – y + z = 5` i el punt `P = (0, 1, 3)`.

a) Comproveu que la distància del punt `P` al pla `\pi` és `\sqrt{6}/2`. [0,5 punts]

b) Trobeu l’equació general d’un pla `\pi_1` paral·lel a `\pi` i que passi pel punt `P`. Quina és la distància entre `\pi_1` i `\pi`? [0,75 punts]

c) Trobeu l’equació general d’un segon pla `\pi_2`, diferent de `\pi_1`, que és paral·lel a `\pi` i que estigui a una distància `\sqrt{6}/2` de `\pi`. [1,25 punts]


Solució:
    a)
      Per trobar la distància del punt al pla farem servir la fórmula: `D(P, pi)=|(A·p_1+B·p_2+C·p_3+D)|/\sqrt{A^2+B*2+C^2}`

      On `\pi: 2x – y + z -5= 0 => (A,B,C)=(2,-1,1)` i `P=(0,1,3)`


      `D(P, pi)=|(2·0-1·1+1·3-5)|/\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=3/\sqrt{6}=(3\sqrt{6})/6=\sqrt{6}/2`



    b)
      El vector associat del pla `pi_1` serà el mateix que el de `pi_1`, ja que són paral·lels. O sigui:

        `\pi_1: 2x – y + z +D=0`


      Si hi substituïm el punt `P=(0,1,3)`


        `2·0 – 1 + 3 +D=0 => 2+D=0 => D=-2`


      `\pi_1: 2x – y + z -2=0`


      Per calcular la distància entre dos plans paral·lels cal trobar la distància entre un punt d'un pla i l'altre pla. Ho farem des del punt `P` de `pi_1` al pla `pi` que és la distància calculada a l'apartat a.

      `D(P, pi)=\sqrt{6}/2`




    c)
      Per buscar l'equació del pla `pi_2` cal buscar un punt, `P'`, pel qual passi el pla.

      Cal buscar el punt simètric de `P` respecte el pla `pi` que en diem `P'`.

      Per fer-ho, buscarem la recta perpendicular al `pi` que passa per `P`.

      Cercarem la intersecció, `M` i per trobar el punt `P'=P+2·\vec{MP}`


      Recta perpendicular al `pi` que passa per `P`.

        `(x,y,z)=(0,1,3)+(2,-1,1)t`

        `(x,y,z)=(2t,1-t,3+t)`


      Per trobar la intersecció amb `pi` o substituïm a l'equació de `pi`

        `\pi: 2x – y + z = 5`

        `2·2t – (1-t) + 3+t = 5`

        `4t –1+t + 3+t = 5`

        `6t= 3`

        `t= 3/6=1/2`

      O sigui, `M=(2·1/2,1-1/2,3+1/2)=(1,1/2,7/2)`

      El punt `P'` per on passa el pla `pi_2` és:

      `P'=P+2·\vec{MP}=(0,1,3)+2·[(1,1/2,7/2)-(0,1,3)]=(0,1,3)+2·(1,-1/2,1/2)=(2,0,4)`


      Finalment per trobar l'equació del pla:

        `pi_2: 2x – y + z = D` substituïm el punt `P'` per trobar `D`


        `2·2 – 0 + 4 = D => D=8`


      L'equació del pla queda:

      `pi_2: 2x – y + z = 8`