(2025-setembre-3-2) Considereu el sistema d’equacions lineals següent:

$$
\begin{cases}
x+3y+z=5\\
mx+2z=0\\
my-z=m
\end{cases}
$$

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre `m`. [1,25 punts]

b) Resoleu el sistema per a `m = 1`. [0,5 punts]

c) Resoleu el sistema quan aquest tingui infinites solucions. [0,75 punts]

Solució:

    a)

      Matriu del sistema
      $$
      \begin{pmatrix}
      1&3&1\\\
      m&0&2\\\
      0&m&-1
      \end{pmatrix}
      $$
      Matriu ampliada
      $$
      \begin{pmatrix}
      1&3&1&5\\\
      m&0&2&0\\\
      0&m&-1&m
      \end{pmatrix}
      $$
      Anem a calcular el rang de la matriu del sistema agafem el menor:
      $$
      \begin{vmatrix}
      3&1\\\
      0&2
      \end{vmatrix}=3*2-0*1 = 6 \ne 0
      $$
      Això implica que el Rang de la matriu del sistema és `>=2`

      Ara calculem el determinant de tota la matriu del sistema i mirem per quins valors de `m` dona `0` així sabrem quins valors de `m` fan que el rang sigui `2` i per tots els altres serà `3`.
      $$
      \begin{vmatrix}
      1&3&1\\\
      m&0&2\\\
      0&m&-1
      \end{vmatrix}=0+0+m^2-0-2m+3m=m^2+m
      $$

      `m^2+m=0`

      `m(m+1)=0`

      `m=0` i `m=-1` Per tots els altres valors d'`m` el rang serà `3`


      Ara caldrà estudiar què passa per cadascun d'aquest dos valors:


      `m=0`, Matriu ampliada
      $$
      \begin{pmatrix}
      1&3&1&5\\\
      0&0&2&0\\\
      0&0&-1&0
      \end{pmatrix}
      $$
      La segona fila és la tercera multiplicada per `-2` per la qual cosa si `m=0` Rang `S =2` Rang `S'=2` numero d'incògnites `=3` Sistema compatible indeterminat.


      `m=-1`, Matriu ampliada
      $$
      \begin{pmatrix}
      1&3&1&5\\\
      -1&0&2&0\\\
      0&-1&-1&-1
      \end{pmatrix}
      $$

      Calculem el determinant:
      $$
      \begin{vmatrix}
      1&3&5\\\
      -1&0&0\\\
      0&-1&-1
      \end{vmatrix}=0+0+5-(0+0+3)=2 \ne 0
      $$

      Si `m=-1` Rang `S =2` Rang `S'=3` sistema incompatible.


      Resumint-ho en una taula:


      m RS RS' n S
      `0` `2` `2` `3` Compatible indeterminat
      `-1` `2` `3` `3` Incompatible
      `ne 0` i `ne -1` `3` `3` `3` Compatible determinat



    b)
      $$
      \begin{cases}
      x+3y+z=5\\
      x+2z=0\\
      y-z=1
      \end{cases}
      $$
      Equació inicial:

	0x	+y	-z	=	+1
	+x	0y	+2z	=	0
	+x	+3y	+z	=	+5


Reordenem les equacions.

	+x	0y	+2z	=	0
	+x	+3y	+z	=	+5
	0x	+y	-z	=	+1


Multipliquem la 1ª equació per (-1) i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 1 .

	+x	0y	+2z	=	0
	0x	+3y	-z	=	+5
	0x	+y	-z	=	+1


Canviat l'ordre de les equacions:	2ª,	3ª.

	+x	0y	+2z	=	0
	0x	+y	-z	=	+1
	0x	+3y	-z	=	+5


Multipliquem la 2ª equació per (-3) i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 1 .

	+x	0y	+2z	=	0
	0x	+y	-z	=	+1
	0x	0y	+2z	=	+2


Multipliquem la 3ª equació per 1 i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 2 .

	+x	0y	+2z	=	0
	0x	+2y	0z	=	+4
	0x	0y	+2z	=	+2


Multipliquem la 3ª equació per (-2) i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per 2 .

	+2x	0y	0z	=	-4
	0x	+2y	0z	=	+4
	0x	0y	+2z	=	+2


Dividim cada equació pel coeficient de la seva incògnita.

	+x	0y	0z	=	-2
	0x	+y	0z	=	+2
	0x	0y	+z	=	+1




      SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT

      Solució:

        x = -2
        y = +2
        z = +1



    c)

      Cal resoldre el sistema quan `m=0`

      $$
      \begin{cases}
      x+3y+z=5\\
      2z=0\\
      -z=0
      \end{cases}
      $$
      $$
      \begin{cases}
      x+3y+z=5\\
      y=\lambda\\
      z=0
      \end{cases}
      $$
      $$
      \begin{cases}
      x=5-3\lambda\\
      y=\lambda\\
      z=0
      \end{cases}
      $$