|
(2025-juny-1-4B) Considereu el pla `\pi` d’equació `x + y = 0`. a) Calculeu l’equació del pla `\pi'` que és perpendicular a `\pi` i conté els punts `P = (1, –1, 2)` i `Q = (3, –3, 6)`. [1 punt] b) Calculeu l’equació paramètrica de la recta continguda en `\pi'` i que conté els punts de `\pi'` a la mateixa distància de `P` que de `Q`. [1,5 punts] Solució: a)
El vector `\vec{PQ}=(3, –3, 6)-(1, –1, 2)=(2,-2,4) <=> (1,-1,2)` pot ser l'altre vector director. Si agafem el punt `P` com a vector de posició podem trobar l'equació del pla calculant el següent determinant igualant-ho a `0`(ja que el vector `\vec{PX}` ha de ser linealment dependent dels dos vectors directors).: $$ \begin{vmatrix} x-1&y+1&z-2\\\ 1&1&0\\\ 1&-1&2 \end{vmatrix}= 2(x-1)+0-1·(z-2)-1·(z-2)-0-2(y-1)=2x-2-2z+4-2y-2=2x-2y-2z=0 $$
b) Busquem el punt mig entre `P` i `Q` `PM=((1+3)/2,(-1-3)/2,(2+6)/2)=(2,-2,4)`. L'equació de la recta que busquem és la intersecció del pla `pi'` i el pla, `pi''` perpendicular al vector `\vec{PQ}=(1,-1,2)` i que passa pel punt mig `PM=(2,-2,4)`. L'equació de `pi''` té com a vector associat `(1,-1,2)` o sigui serà de la forma: `x-y+2z+D=0`. Podem trobar el valor `D` substituint a l'equació el punt, `PM=(2,-2,4)` per on passa el pla.
`12+D=0` `D=-12` L'equació general del pla és, `x-y+2z-12=0` I l'equació de la recta buscada és:
`x-y+2z-12=0` Si restem les dues equacions:
L'equació queda:
`z=4` `x-y-4=0` `z=4` `x=4+y` `z=4` La paramètrica quedaria:
`y=k` `z=4` I la vectorial quedaria:
|