(2025-juny-1-2) Considereu el sistema d’equacions lineals següent:
$$
\begin{cases}
y-z=p+3\\
p^2x-z=5\\
x-y=3
\end{cases}
$$
a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre p.
[1,25 punts]

b) Resoleu el sistema per al cas `p = –1`.
[0,5 punts]

c) Per al cas `p = –1`, hi ha alguna solució que compleixi, a més, `xy = 10`? En cas afirmatiu, indiqueu quantes n’hi ha i trobeu-les totes.
[0,75 punts]

Solució:

    a)

      Matriu del sistema=
      $$
      \begin{pmatrix}
      0&1&-1\\\
      p^2 &0&-1\\\
      1&-1&0
      \end{pmatrix}
      $$

      Matriu ampliada=
      $$
      \begin{pmatrix}
      0&1&-1&p+3\\\
      p^2 &0&-1&5\\\
      1&-1&0&3
      \end{pmatrix}
      $$

      $$
      \begin{vmatrix}
      1&-1\\\
      0&-1
      \end{vmatrix}= 1*(-1)-0*(-1) = -1 \ne 0
      $$

      El rang de la matriu del sistema `>=2`

      Anem a veure quan el determinat de la matriu del sistema val `0` per saber quan el rang és `2` o `3`.

      $$
      \begin{vmatrix}
      0&1&-1\\\
      p^2 &0&-1\\\
      1&-1&0
      \end{vmatrix}=0-1+p^2 -0-0-0=p^2-1=0 => p=\pm1
      $$

      Anem a veure què passa amb el rang de la matriu ampliada per a `p = \pm 1`

      `p=1`

        Matriu ampliada=
        $$
        \begin{pmatrix}
        0&1&-1&4\\\
        1 &0&-1&5\\\
        1&-1&0&3
        \end{pmatrix}
        $$
        Calculem el determinant:
        $$
        \begin{vmatrix}
        0&1&4\\\
        1 &0&5\\\
        1&-1&3
        \end{vmatrix}=0+5-4-0-0-3 = -2 \ne 0
        $$

        Rang matriu ampliada `3 =>` Si `p=1` Rang `S=2` i Rang `S'=3 =>` Sistema incompatible.


      `p=-1`

        Matriu ampliada=
        $$
        \begin{pmatrix}
        0&1&-1&2\\\
        1 &0&-1&5\\\
        1&-1&0&3
        \end{pmatrix}
        $$
        Calculem el determinant:
        $$
        \begin{vmatrix}
        0&1&2\\\
        1 &0&5\\\
        1&-1&3
        \end{vmatrix}=0+5-2-0-0-3 = 0
        $$

        Rang matriu ampliada `2 =>` Si `p=-1` Rang `S=2` i Rang `S'=2 =>` Sistema compatible indeteminat (hi ha `3` incognites).



      Si `p\ne 1` i `p\ne -1` Rang de la matriu del sistema `=3` i el de l'ampliada `=3 =>` Sistema compatible determinat.


      Resumint-ho en una taula:


      p RS RS' n S
      `1` `2` `3` `3` Incompatible
      `-1` `2` `2` `3` Compatible indeterminat
      `ne 1` i `ne -1` `3` `3` `3` Compatible determinat



    b)
      Substituïm `p=-1`
      $$
      \begin{cases}
      y-z=2\\
      x-z=5\\
      x-y=3
      \end{cases}
      $$
      Aïllem la `y` de la `1a` i la substituïm a la `3a`:

        `y=2+z`


        `x-z=5`

        `x-2-z=3`


        `x-z=5`

        `x-z=5`


      Sobra la última equació.

        `x-z=5`

        `y=2+z`

        `z=\lamda`



        `x=5+\lamda`

        `y=2+\lamda`

        `z=\lamda`


    c)

      `xy=10`

      `(2+\lambda)·(5+\lamda)=10`

      `10+7\lamda+\lambda^2=10`

      `\lambda^2+7\lamda=0`

      `\lambda·(\lambda+7)=0`

      `\lambda=0` i `\lambda=-7`

      Si `lambda=0 => (5,2,0)`     i si     `\lambda=-7 => (-2,-5,-7)`