(2024-setembre-1-6) Considereu el punt `P = (1, 3, 0)` i el pla `\pi` d’equació `x + 2y – 2z = –7`. a) Sigui `r` la recta que és perpendicular a `\pi` i passa per `P`. Calculeu el punt d’intersecció de `\pi` amb `r`. [1 punt] b) Calculeu la distància `d` del punt `P` al pla `\pi`. [0,5 punts] c) Calculeu l’equació d’un altre pla `\pi'` que sigui paral·lel a `\pi` i que també estigui a distància `d` de `P`. [1 punt] Solució: a) La recta perpendicular a `pi` pot tenir com a vector director l'associat del pla `(1,2,-2)` per la qual cosa una equació vectorial de la recta és: `(x,y,z)=(1,3,0)+lamda(1,2,-2)` `(x,y,z)=(1+lambda,3+2lambda,-2lamda)` Si ho substituïm a l'equació del pla tindrem una equació amb `lamda` que si la resolem ens donarà el punt d'interssecció. `1+lambda + 2(3+2lambda) – 2(-2lamda) = –7` `1+lambda + 6+4lambda +4lamda = –7` `9lambda = –14` `lambda = (–14)/9` Punt de tall: `P_p=(x,y,z)=(1+(–14)/9,3+2(–14)/9,-2(–14)/9)=` `((–5)/9,(–1)/9,28/9)` b) Per calcular la distància entre el punt `P` i el pla `pi` és la distància entre `P` i la seva projecció al pla, el punt `P_p` que no és més que el mòdul del vector `\vec{PP_p}` `\vec{PP_p}=((–5)/9,(–1)/9,28/9)-(1,3,0)=(-14/9,-28/9,28/9)` `|\vec{PP_p)|=\sqrt{(-14/9)^2+(-28/9)^2+(28/9)^2}=\sqrt{(14^2+28^2+28^2)/81}` `|\vec{PPP_3)|=1/9\sqrt{1764}=42/9=` `14/3 u` També podíem haver fet servir la rórmula de la distància d'un punt a un pla, `d(P,pi)=(Ap_1+Bp_2+Cp_3+D)/\sqrt{A^2+B^2+C^2}` `d(P,pi)=|1+2·3+(-2)·0+7|/\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=|14|/\sqrt{9}=14/3` c) Com què és un pla paral·lel a `pi` la seva equació serà `pi'=x+2y-2z+D=0` i passarà pel punt: `P'=P-\vec{PP_p}=(1,3,0)-(-14/9,-28/9,28/9)=(23/9,55/9,-28/9)` `pi'=23/9+2·55/9-2(-28)/9)+D=0` `pi'=23/9+110/9+56/9+D=0` `pi'=189/9+D=0` `pi'=21+D=0 => D=-21` Finalment l'equació de la recta quedarà: `pi'=x+2y-2z-21=0` O, el que és el mateix: `pi'=x+2y-2z=21` També ho podem fer imposant que la distància del punt `(1,3,0)` a la recta `pi'=x+2y-2z+D=0` fos, `14/3` `d(P,pi)=|1+2·3+(-2)·0+D|/\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=14/3` `d(P,pi)=|7+D|/3=14/3` Que la seva solució és `D=7`, cosa que ja sabíem, ja que és el pla original i `D=-21`.