(2024-setembre-1-4) S’estima que el `20 %` dels habitants d’una regió pateix algun tipus d’arrítmia. Per a diagnosticar-la, hi ha la possibilitat de col·locar al pacient un monitor Holter, que detecta l’arrítmia en un `95 %` dels casos de persones que la pateixen, però que també dona falsos positius, per motius elèctrics, en persones que no pateixen arrítmies en un `0,5 %` dels casos. a) Si escollim `4` persones a l’atzar, quina és la probabilitat que almenys una d’elles pateixi arrítmies? [0,75 punts] b) Quina és la probabilitat que una persona escollida a l’atzar obtingui un diagnòstic positiu d’arrítmia? [0,75 punts] c) Si una persona obté un diagnòstic negatiu a la prova del Holter, quina és la probabilitat que realment pateixi arrítmies? [1 punt] Solució: a) És un problema de binomial. Com ens demanen almenys que una tingui arrítmia caldria calcular `P(1), P(2), P(3)` i `P(4)` és més fàcil calcular la probabilitat de tenir `k=0` èxits i restar-ho d'`1`. $$P(k)= {n \choose k}p^k·(1-p)^{n-k}$$ $$P(k\geq1)=1-P(0)= 1-{4 \choose 0}0,2^0·(1-0,2)^4 = 0,5904$$ b) Direm `A` a l'esdeveniment tenir arrítmia i `H` a l'esdeveniment donar positiu portant un monitor Holter. Les dades que ens donen són: `P(A)=0,20`, `P(bar(A))=0,80`, `P(H|A)=0,95` i `P(H|bar(A))=0,005` Amb això construïm el diagrama d'arbre. `P(H|A)=0,95` `P(A)= 0,20<` `P(bar(H)|A)=0,05` `<` `P(H|bar(A))=0,005` `P(bar(A))=0,80 <` `P(bar(H)|bar(A))=0,995` `P(H)=P(H\capA)+P(H\cap bar(A))=P(A)·P(H|A)+P(bar(A)|P(H|bar(A))` `P(H)=0,20·0,95+0,80·0,005 = 0,194` c) `P(A|bar(H))=(P(A\cap bar(H)))/(P(bar(H)))=(P(A)·P(bar(H)|A))/(1-P(H))=(0,20·0,05)/(1-0,194) = 0,012407`