|
(2024-setembre-3-2) Considereu el sistema d’equacions següent, on `m` és un paràmetre real: $$ \begin{cases} x-3y+mz=-2\\ x+my+2z=3\\ x+y+2z=m \end{cases} $$ a) Discutiu el sistema segons el valor del paràmetre `m`. [1,25 punts] b) Trobeu la solució del sistema per a `m = 0`. [0,5 punts] c) Per a `m = 2`, doneu una solució `(x, y, z)` del sistema que, a més a més, compleixi `x = 5y`. [0,75 punts] Solució: a)
$$ S=\begin{pmatrix} 1&-3&m\\\ 1&m&2\\\ 1&1&2 \end{pmatrix} $$ $$ S'=\begin{pmatrix} 1&-3&m&-2\\\ 1&m&2&3\\\ 1&1&2&m \end{pmatrix} $$ Calculem els rangs de la matriu `S` $$ \begin{vmatrix} 1&-3\\\ 1&1 \end{vmatrix}= 1+3=4 \ne 0 => $$ Rang`(S)>=2`, Calculem els valors que el determinant de `S` dona `0` per veure quan el rang`(S)=2`. $$ det(S)=\begin{vmatrix} 1&-3&m\\\ 1&m&2\\\ 1&1&2 \end{vmatrix}=2m-6+m-m^2-2-2=-m^2+3m-2=0 $$ `m=(-3\pm\sqrt{3^2-4·(-1)·(-2)})/(-2)=(-3\pm\sqrt{1})/(-2)=(-3\pm1)/(-2)` `m_1=2` o `m_2=1`, en aquests casos Rang`(S)=2` i en tots els altres, Rang`(S)=3=`Rang`(S')` Compatible determinat. Anem a veure cadascun d'aques dos casos: `m=1` $$ S'=\begin{pmatrix} 1&-3&1&-2\\\ 1&1&2&3\\\ 1&1&2&1 \end{pmatrix} $$ Calculem: $$ \begin{vmatrix} 1&-3&-2\\\ 1&1&3\\\ 1&1&1 \end{vmatrix}=1-9-2-(-2+3-3) = -8 $$ Det `\ne=0 =>` Rang`(S')=3`. Si `m=2` Sistema incompatible, no té solució. `m=2` $$ \begin{pmatrix} 1&-3&2&-2\\\ 1&2&2&3\\\ 1&1&2&2 \end{pmatrix} $$ Calculem: $$ \begin{vmatrix} 1&-3&-2\\\ 1&2&3\\\ 1&1&2 \end{vmatrix}=4-9-2-(-4+3-6) = 0 $$ Det `=0 =>` Rang`(S')=2`, `n=3`. Si `m=2` Sistema compatible indeterminat. Resumint-ho en una taula:
b)
\begin{cases} x-3y=-2\\ x+2z=3\\ x+y+2z=0 \end{cases} $$ Com `m` no és ni `1` ni `2`, el sistema és compatible determinat. El podem resoldre, per exemple, pel mètode de Gauss: Equació inicial: +x +y +2z = 0 +x 0y +2z = +3 +x -3y 0z = -2 Multipliquem la 1ª equació per (-1) i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 1 . +x +y +2z = 0 0x -y 0z = +3 +x -3y 0z = -2 Multipliquem la 1ª equació per (-1) i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 1 . +x +y +2z = 0 0x -y 0z = +3 0x -4y -2z = -2 Multipliquem la 2ª equació per 4 i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per (-1) . +x +y +2z = 0 0x -y 0z = +3 0x 0y +2z = +14 Multipliquem la 3ª equació per (-2) i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per 2 . +2x +2y 0z = -28 0x -y 0z = +3 0x 0y +2z = +14 Multipliquem la 2ª equació per (-2) i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per (-1) . -2x 0y -0z = +22 0x -y 0z = +3 0x 0y +2z = +14 Dividim cada equació pel coeficient de la seva incògnita. +x -0y 0z = -11 -0x +y -0z = -3 0x 0y +z = +7
c)
$$ \begin{cases} x-3y+2z=-2\\ x+2y+2z=3\\ x+y+2z=2 \end{cases} $$
Equació inicial: +x +y +2z = +2 +x +2y +2z = +3 +x -3y +2z = -2 Multipliquem la 1ª equació per (-1) i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 1 . +x +y +2z = +2 0x +y 0z = +1 +x -3y +2z = -2 Multipliquem la 1ª equació per (-1) i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 1 . +x +y +2z = +2 0x +y 0z = +1 0x -4y 0z = -4 Multipliquem la 2ª equació per 4 i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 1 . +x +y +2z = +2 0x +y 0z = +1 0x 0y 0z = 0 Eliminem la 3ª equació. +x +y +2z = +2 0x +y 0z = +1 SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINAT. Passem les incògnites no principals a l'altra banda. +x +y = +2 -2z 0x +y = +1 0z Multipliquem la 2ª equació per (-1) i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per 1 . +x 0y = +1 -2z 0x +y = +1 0z
Cerquem una solució que compleixi que `x=5y=>`
`-2lambda=5-1 => z=4/(-2)=-2`
|