4- OPCIÓ B En una indústria es fan servir braços robòtics amb sensors per a mesurar amb precisió determinades peces metàl·liques i comprovar si tenen irregularitats. Les peces es col·loquen sobre la superfície determinada pel pla `pi: (x, y, z) = (6, 1, 1) + lamda(1, 1, 0) + mu(0, 0, 1)` i, per damunt seu, un braç robòtic desplaça un sensor des del punt `A = (1, 2, 3)` fins al punt `B = (5, 3, 7)` en línia recta (les unitats dels tres eixos de coordenades estan expressades en centímetres). 4.1. Quina distància ha recorregut el sensor? [0,5 punts] Calculem el vector `\vec{AB}=(5,3,7)-(1,2,3)=(4,1,4)` La distància recorrreguda és el mòdul d'aquest vector: `abs(\vec{AB})=\sqrt{4^2+1^2+4^2}=\sqrt{33} approx 5,74` `cm` 4.2. En acabar el moviment, a quina distància de la superfície es troba el sensor? [1 punt] Calculem l'equació general del pla. Calculem el vector associat $$\begin{vmatrix}i&j&k\\1&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=(1,-1,0)$$ `x-y+D=0` Ha de contenir el punt `(6,1,1)` `6-1+D=0 => D=-5` Equació general del pla: `x-y-5=0` Per trobar la distàncai demanada fem servir la fórmula de la distància d'un punt, `(5,3,7)` a un pla, `x-y-5=0`: `d=abs(5-3-5)/\sqrt{1^2-(-1)^2}=3/\sqrt{2} approx 2,12` `cm` 4.3. Si el sensor seguís movent-se en la mateixa línia recta i en el mateix sentit, en quin punt xocaria amb la superfície? [1 punt] Cal trobar el punt de tall entre el pla `x-y-5=0` i la recta que passa pels punts `(1,2,3)` i `(5,3,7)`. Cerquem l'equació paramètrica d'aquesta recta, recordem que més amunt hem calculat el vector director, `\vec{AB}=(4,1,4)` i agafem com a vector de posició, `A=(1,2,3)`: `(x,y,z)=(1,2,3)+(4,1,4)lambda` $$ \begin{cases} x=1+4 \lambda\\ y=2 + \lambda\\ z=3+4 \lambda \end{cases} $$ O substituïm a l'equació del pla: `1+4lambda-2-lambda-5=0` `3lambda=6` `lambda=6/3=2` En resum, el punt de tall és: `(x,y,z)=(1,2,3)+(4,1,4)2=(9,4,11)`