4- OPCIÓ A
D’una funció `f(x)`, sabem que passa pel punt `(–1, –1)` i que la gràfica de la seva funció derivada és la següent:
4.1. Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció `f(x)` en el punt `(–1, –1)`.
[1 punt]
De la gràfica veiem que `f'(-1)=2`. Per la qual cosa l'equació de la recta tangent demanada és:
4.2. Estudieu si `f(x)` té punts crítics (punts on `f'(x) = 0`) i, en cas que en tingui, determineu-ne les abscisses i classifiqueu-los segons si són màxims, mínims o punts d’inflexió de f(x).
[1 punt]
Cal cercar els punts on `f'(x)=0` a partir de la gràfica veiem que són a `x=-2` a `x=0` i a x=-1
- `x=-2` la derivada passa de negativa a positiva, vol dir que `f(x)` passa de decreixent a creixent per la qual cosa,
- `x=0` la derivada passa de positiva a positiva, vol dir que `f(x)` és creixent, i `f''(x)<0` per `x<0` convexa i `f''(x)>0` per `x>0` còncava. Per tot plegat:
| a, `x=0` hi ha un punt d'inflexió | |
- `x=1` la derivada passa de positiva a negativa, vol dir que `f(x)` passa de creixent a decreixent, per la qual cosa:
4.3. Sabent, a més, que `f(0) = –0,2`, calculeu l’àrea entre la gràfica de `f'(x)` i l’eix de les abscisses, des de `x = –1` fins a `x = 0`.
[0,5 punts]
| `\int_-1^0 f'(x) dx =[f(x)]_-1^0=f(0)-f(-1)=-0,2-(-1)=0,8` `u^2` | |
|