|
3- En una ciutat s’ha estudiat la relació entre els hàbits de lectura i la pràctica d’esport en l’alumnat de batxillerat. Per a fer-ho, s’han formulat les dues preguntes següents a l’alumnat d’aquesta etapa educativa: «Llegeixes com a mínim dos llibres al mes?» i «Practiques algun esport almenys quatre hores a la setmana?» Dels resultats de l’enquesta, es desprèn que el `60 %` llegeixen com a mínim dos llibres al mes, dels quals el `70 %` practiquen algun esport un mínim de quatre hores a la setmana. També s’observa que, d’entre els que no llegeixen un mínim de dos llibres al mes, el `50 %` fan menys de quatre hores setmanals d’esport. Si escollim a l’atzar un alumne/a de batxillerat d’aquesta ciutat:
`E=` Esdeveniment practicar com a mínim un esport al menys quatre hores a la setmana. Ens donen:
A partir d'aquí construïm l'arbre:
3.1. Quina és la probabilitat que faci esport almenys quatre hores setmanals? [0,75 punts] `P(E)=P(E cap LL)+P(E cap bar(LL))= P(LL)·P(E|LL)+P(bar(LL))·P(E|bar(LL))=0,6·0,7+0,4·0,5`
3.2. Si sabem que aquest alumne/a fa esport menys de quatre hores setmanals, quina probabilitat hi ha que llegeixi almenys dos llibres al mes? [0,75 punts] Ens demanen `P(LL|bar(E))` i per la fórmula de Bayes això és `P(LL|bar(E))=(P(LL cap bar(E)))/(P(bar(E)))=(P(LL)·P(bar(E)|LL))/(P(bar(E)))=(0,6·0,3)/(1-0,62)`
L’Alba és una estudiant de batxillerat que ha anat anotant durant tot el curs quantes hores dedicava a la setmana a llegir i quantes a fer esport. Per a cada setmana té apuntat un nombre real `x` que correspon a la quantitat d’hores de lectura i que oscil·la entre `1` i `6`, i un nombre real `y` que correspon a la quantitat d’hores de pràctica esportiva. Ha observat que la relació `y = 7 – x + ln(2x – 1)` s’ajusta força bé a les dades que ha anotat. 3.3. Calculeu, segons aquest model, quin és el màxim i el mínim d’hores per setmana que l’Alba ha dedicat a practicar esport. [1 punt]
`y(6) = 7-6+ln(2·6-1) = 3,397895` I ara cerquem els màxims i mínims a l'interval calculant la derivada i igualant a `0`. Recordem que la funció que ens donen és contínua i derivable:
`-1+2/(2x-1)=0` `2/(2x-1)=1` `2=2x-1` `x=3/2` Calculem la segona derivada.
`y''(3/2)=-/+=- < 0 =>` a `x=3/2` hi ha un màxim `y(3/2)=7-3/2+ln(2·3/2-1) = 6,193147 approx 6` `h` `12'`
|