|
2- Considereu les matrius $$M=\begin{pmatrix}3&3&0\\k-1&-1&-1\end{pmatrix}$$ i , on `k` és un nombre real qualsevol. 2.1. Calculeu els valors de `k` per als quals `MN` és invertible. [0,75 punts]
Calculem el determinant: $$\begin{vmatrix}3k+6&3\\2k-2&k-3\end{vmatrix}=3k^2-3k-18-6k+6=3k^2-9k-12$$ `3k^2-9k-12=0` `k^2-3k-4=0` `x=(3pm\sqrt{(-3)^2-4·1·(-4)})/2=(3pm\sqrt{25})/2=(3pm5)/2`
`x_2=-1`
2.2. Calculeu els valors de `k` per als quals `NM` és invertible. [0,75 punts]
$$\begin{pmatrix}9+k-1&9-1&0-1\\3k-3+0&3k-3+0&0+0\\0+2k-2&0-2&0-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k+8&8&-1\\3k-3&3k-3&0\\2k-2&-2&-2\end{pmatrix}$$
$$\begin{vmatrix}k+8&8&-1\\3k-3&3k-3&0\\2k-2&-2&-2\end{vmatrix}=2(3k-3)·\begin{vmatrix}k+8&8&-1\\1&1&0\\k-1&-1&-1\end{vmatrix}$$ A la primra fila li restem la tercera al determinant: $$2(3k-3)·\begin{vmatrix}9&9&0\\1&1&0\\k-1&-1&-1\end{vmatrix}=0$$ ja que la primera fila és combinació lineal de la segona (`9` vegades)
2.3. Estudieu per a quins valors reals de `m`, `n` i `k` el sistema $$M\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}$$ és compatible indeterminat. [1 punt] $$M·\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3&0\\k-1&-1&-1\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}$$ $$ \begin{cases} 3x+3y=m\\ (k-1)x-y-z=n \end{cases} $$ El rang de la matriu del sistema: $$S=\begin{pmatrix}3&3&0\\k-1&-1&-1\end{pmatrix}$$ És `2` ja que $$\begin{vmatrix}3&0\\-1&-1\end{vmatrix}=-3 \ne 0$$ El rang el'ampliada serà `2`, ja que afegim una coumna i no una fila, independentment del valor de `k`, `m` i `n` i el nombre d'incògnites és `3`. Per la qual cosa el sistema:
|