1- Considereu la paràbola `y = f(x)`, amb `f(x) = –x^2 + 5x`, i la hipèrbola `y = g(x)`, amb `g(x)=8-8/(x+1)`. 1.1. En quants punts es tallen les gràfiques d’aquestes dues funcions? Calculeu-los tots. [0,75 punts] `–x^2 + 5x=8-8/(x+1)` `–x^2 + 5x-8=-8/(x+1)` `(–x^2 + 5x-8)·(x+1)=-8` `-x^3+5x^2-8x-x^2+5x-8=-8` `-x^3+4x^2-3x=0` `(-x^2+4x-3)x=0` `x=0` `-x^2+4x-3=0` `x=(-4pm\sqrt{4^2-4·(-1)·(-3)})/(-2)=(-4pm\sqrt{4})/(-2)=(-4pm2)/(-2)` `x_1=(-4+2)/(-2) = 1` `x_2=(-4-2)/(-2) = 3` `f(0)=-0^2+5·0 = 0` `f(1)=-1^2+5·1 = 4` `f(3)=-3^2+5·3 = 6` Tallen pels punts: `(0,0)` ; `(1,4)` i `(3,6)` 1.2. Calculeu l’àrea de la regió situada entre les dues corbes des de `x = 1` fins a `x = 3`. [1 punt] Com no hi ha cap punt de tall més entre `[1,3]` Calcularem el valor abbsolut de la integral entre les dues funcions entre aquests dos punts. `abs(\int_1^3 [–x^2 + 5x-(8-8/(x+1))]dx)=abs(\int_1^3 [–x^2 + 5x-8+8/(x+1)]dx)=abs([-x^3/3+5/2x^2-8x+8ln(x+1)]_1^3)=` `abs([-3^3/3+5/2·3^2-8·3+8·ln(3+1)]-[-1^3/3+5/2·1^2-8·1+8·ln(1+1)])=abs(0,878511)=` `0,878511` `u^2` El problema no ho demana per`qo el que hem calculat és: 1.3.Comproveu que `f(x)` té les arrels als punts d’abscissa `x = 0` i `x = 5`, i que l’ordenada del vèrtex de la paràbola `y = f(x)` és `y = 6,25`. Justifiqueu que `y = f(x)` és l’única paràbola que existeix amb aquestes dues propietats. [0,75 punts] `f(0)=–0^2 + 5·0=0` Cosa que ja sabíem per l'apartat 1.1 `f(5)=-5^2+5·5 = 0` Calculem la derivada: `f'(x)=-2x+5` `-2x+5=0 => x=5/2` `f''(x)=-2 > 0` és un màxim en una paràbola amb el vèrtex que és un màxim (banyes avall ;-) `f(5/2)=-(5/2)^2+5·5/2 = 6,25=y` del vèrtex Les paràboles amb arrels `0` i `5` tenen la forma `y=a(x-5)x=ax^2-5ax` `y'(x)=2ax-5a => 2ax-5a=0 => x_v=5/2` Si `y(5/2)=6,25 =>` ` a(5/2-5)·5/2=6,25` ` a(-6,25)=6,25` ` a=(6,25)/(-6,25)=-1` L'única paràbola amb arrels `x=0` i `x=5` i `y_v=6,25` és `f(x)=-x^2+5x`