4-OPCIÓ B

Considereu els punts de l’espai `P = (1, 0, –1)`, `Q = (3, –2, 0)` i `R = (1, 1, 1)`.

4.1. Calculeu l’equació del pla que conté els punts `P`, `Q` i `R`.
[0,75 punts]


    Com que no ens diuen quina equació ens demanen, qualsevol pot ser bona. Farem l'equació vectorial. Vectors directors:

      `\vec{PQ}=(3,-2,0)-(1,0,-1)=(2,-2,1)`

      `\vec{PR}=(1,1,1)-(1,0,-1)=(0,1,2)`

    Agafem `P` com a vector de posició:

    `(x,y,z)=(1,0,-1)+lambda(2,-2,1)+mu(0,1,2)`


4.2. Comproveu que l’àrea del triangle `DeltaPQR` és `(3\sqrt{5})/2` `u^2`.
[0,75 punts]


    Per trobar l'àrea del triangle cal recordar que el mòdul del producte vectorial és l'àrea del paral·lelogram, per la qual cosa si ho dividim per `2` trobarem l'àrea del triangle.

    $$\begin{vmatrix}i&j&k\\2&-2&1\\0&1&2\end{vmatrix}=(-5,-4,2)$$

    Àrea Triangle `=|``(-5,-4,2)``|``/2=\sqrt{(-5)^2+(-4)^2+2^2}/2=\sqrt{45}/2=\sqrt{9·5}/2=(3\sqrt{5})/2`

Àrea Triangle `=(3\sqrt{5})/2`


4.3. Determineu les condicions que han de complir les coordenades d’un quart punt `S = (x, y, z)` per tal que `P`,` Q`,` R` i `S` formin un tetraedre de volum `1`. (El volum del tetraedre format pels punts `P`, `Q`, `R `i `S` és:
volum`(PQRS)=(àrea(DeltaPQR)·\text(altura))/3`
[1 punt]

    volum`(PQRS)=(àrea(DeltaPQR)·\text(altura))/3`

    `1=((3\sqrt{5})/2·a)/3`

    `3·2/(3\sqrt{5})=a`

    `a=2/\sqrt{5}`

    Cerquem un punt `(x,y,z)` que la distància al pla tingui aquest valor. Per trobar la distància d'un punt a un pla podem fer servir:

    `d=abs(A·p_1+B·p_2+C·p_3+D)/\sqrt{A^2+B^2+C^2}`


    Per la qual cosa necessitem trobar l'equació general del pla. En l'apartat anterior hem calculat el vector associat del pla `(-5,-4,2)` per la qual cosa, el nostr pla és:

    `-5x-4y+2z+D=0`

    Com ha de passar punt `(1,0,-1) =>`

    `-5-2+D=0=> D=7`

    Per la qual cosa l'equació del pla cercat és:

    `-5x-4y+2z+7=0`

    I finalment ho posem a la fórmula de la distància de qualsevol punt a aquest pla i imposem que sigui l'altura del tetraedre:

    `2/\sqrt{5}=abs(-5x-4y+2z+7)/\sqrt{(-5)^2+(-4)^2+2^2}`


    `2/\sqrt{5}=abs(-5x-4y+2z+7)/\sqrt{45}`


    `2/\sqrt{5}=abs(-5x-4y+2z+7)/(3\sqrt{5})`


    `6=abs(-5x-4y+2z+7)`


    Això ho podem posar:

    `-5x-4y+2z+7=6`

    `-5x-4y+2z+7=-6`


    Son tots els punts dels dos plans paral·lels al nostre pla.



    `-5x-4y+2z+1=0`

    `-5x-4y+2z+13=0`


La solució "oficial" ha posat les mateixes equacions canviades de signe.

`5x+4y-2z-1=0`

`5x+4y-2z-13=0`