4-OPCIÓ A L’alcalde d’un poble de Catalunya encarrega a l’arquitecte municipal el disseny d’un parc infantil que es construirà en un terreny públic. Per a complir la normativa vigent, en el parc hi ha d’haver dos espais ben delimitats: un per a una boca de reg —el qual, segons l’arquitecte, ha de tenir forma circular—, i un altre per a una caseta on es guardin les eines de manteniment —el qual ha de tenir forma quadrada. Per motius estètics, l’arquitecte vol delimitar cadascun d’aquests dos espais amb una barana de forja. Sabent que les dues baranes mesuren exactament `10` `m` de longitud en total, quina mida ha de tenir la barana de cada espai per tal que la suma de les superfícies dels dos espais sigui la més petita possible? Quina és aquesta superfície mínima? [2,5 punts] La funció que volem minimitzar és la funció Àrea: `A(r,x)=pir^2+x^2` Sotmesa a la restricció que la suma dels dos perímetres sigui `10` `m`. `2pir+4x=10` `x=5/2-pi/2r` O substituïm a la funció àrea: `A(r)=pir^2+(5/2-pi/2r)^2` `A(r)=pir^2+25/4-5/2pir+pi^2/4r^2` `A(r)=(pi+pi^2/4)r^2-5/2pir+25/4` Derivem per igualar a `0` i trobar els extrems. `A'(r)=2(pi+pi^2/4)r-5/2pi` `2(pi+pi^2/4)r-5/2pi=0` `r=(5pi)/(2pi(1+pi/4))=5/(4(1+pi/4))=5/(4+pi) = 0,700124` `m` Calculem la segona derivada per veure que el resultat serà un mínim `A''(r)=2(pi+pi^2/4)` `A''(5/(4+pi))=2(pi+pi^2/4)>0` Hi ha un mínim La superfície mínima és: `A(5/(4+pi))=(pi+pi^2/4)·(5/(4+pi))^2-5/2pi·(5/(4+pi))+25/4 = 3,500619` `m^2` I la mida de cada barana serà: Per la superfície circular: `2pi·(5/(4+pi)) = 4,399008` `m` I per la superfície quadrada: `x=5/2-pi/2r=5/2-pi/2·5/(4+pi) = 1,400247` Que és la longitud d'un costat del quadrat, si ho multipliquem per `4` `4·x=5/2-pi/2r=4·(5/2-pi/2·5/(4+pi)) = 5,600991` Si sumem les dues quantitats podem comprovar que: `4,399008+5,600991 = 9,999999 approx 10` metres de tana inicials. Es podia haver fet que `x` és el perímetre de la zona circular i `10-x` el perímetre de la zona quadrada. I queda: `r=x/(2pi)` i el costat del quadrat `c=(10-x)/4` La funció àrea quedaria: `A(x)=pi·(x/(2pi))^2+((10-x)/4)^2` Que si la minimitzem ens donaria els mateixos resultats anteriors. Així el problema pot quedar un xic més curt ja que el valor d'`x` ens dona directament el perímetre.