2- Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que està format per tres plans a l’espai i depèn del paràmetre real `m`:.

$$
\begin{cases}
x+my+z=4\\
x+3y+z=5\\
mx+y+z=4
\end{cases}
$$
2.1. Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre `m`.
[1 punt]


Escribim la matriu del sistema:

$$S=\begin{pmatrix}1&m&1\\1&3&1\\m&1&1\end{pmatrix}$$

Calculem el determinat d'aquesta matriu:

$$|S|=\begin{vmatrix}1&m&1\\1&3&1\\m&1&1\end{vmatrix}=3+m^2+1-(3m+1+m)=m^2-4m+3$$

Ho igualem a `0`.

    `m^2-4m+3=0`

    `m=(4pm\sqrt{(-4)^2-4·1·3})/2=(4pm\sqrt{4})/2=(4pm2)/2`

      `m_1=(4-2)/2 = 1`

      `m_2=(4+2)/2 = 3`

m=1

    La matriu ampliada del sistema

    $$S'=\begin{pmatrix}1&1&1&4\\1&3&1&5\\1&1&1&4\end{pmatrix}$$

    Tenim dues files iguals, vol dir que tenim un sistema de dos equacions amb tres incògnites

    $$
    \begin{cases}
    x+y+z=4\\
    x+3y+z=5\\
    \end{cases}
    $$

    Sistema compatible indeterminat

m=3

    La matriu ampliada del sistema

    $$S'=\begin{pmatrix}1&3&1&4\\1&3&1&5\\3&1&1&4\end{pmatrix}$$

Les dues primeres files de la matriu del sistema són iguals, però el `4` i el `5` no. Sistema incompatible



m `ne 1` i m `ne 3`

Det(S)=3 `=>` Det(S')=3 i `n=3` Sistema compatible i determinat



2.2. Interpreteu geomètricament aquest sistema per a tots els valors del paràmetre `m` i resoleu-lo, si és possible, per al cas `m = 1`.
[1 punt]


m `ne 1` i m `ne 3`
Tres plans que es tallen en un punt


m=3

Dos plans paral·lels (1a i 2a equació i l'altre pla que talla amb cadascú dels altres dos en una recta


m=1

Dos plans iguals i l'altre que talla formant una recta d'equació:

$$
\begin{cases}
x+y+z=4\\
x+3y+z=5\\
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x+y+z=4\\
x+3y+z=5\\
z=\lambda
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x+y=4-\lambda\\
x+3y=5-\lambda\\
z=\lambda
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x+y=4-\lambda\\
x+3y=5-\lambda\\
\end{cases}
$$
    Restem la segona menys la primera
    $$
    \begin{cases}
    2y=1\\
    x+3y=5-\lambda\\
    \end{cases}
    $$
    $$
    \begin{cases}
    y=1/2\\
    x+3y=5-\lambda\\
    \end{cases}
    $$

    Substituïm:
    `x+3/2=5-lambda`

    `x=7/2-lambda`

    O ajuntem tot:
    $$
    \begin{cases}
    x=7/2-\lambda\\
    y=1/2\\
    z=\lambda
    \end{cases}
    $$
`(x,y,z)=(7/2,1/2,0)+lambda(-1,0,1)`


2.3. Per a m = 1, és possible afegir una quarta equació de manera que el sistema resultant sigui compatible determinat i tingui com a solució `(x,y,z)=(3,1/2,1/2)` ? Raoneu la resposta.
[0,5 punts]


Aquest punt ja és solució d'ambdues equacions, `lambda=1/2` Per la qual cosa sí.

Afegim qualsevol equació que contingui aquest punt i que sigui linealment independent de les altres dues, per exemple:

`2x+y+z=7`
$$
\begin{cases}
x+y+z=4\\
x+3y+z=5\\
2x+y+z=7
\end{cases}
$$

Si calculem el determinant de la matriu del sistema

$$S=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&3&1\\2&1&1\end{pmatrix}$$
$$S=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&3&1\\2&1&1\end{vmatrix}=3+2+1-(6+1+1) = -2 \ne 0$$

Rand matriu sistema `=3 =` ramg ampliada `=` número d'incògnites `=>` Sistema compatible determinat