|
1- Considereu la funció definida a trossos següent: $$ f(x)=\begin{cases} 5 e^{2x} \text{ si } x\le0 \\ \\ (x+m)^2+1 \text{ si } 0 < x < 2 \\ \\ 1 \text{ si } x \le 2 \end{cases} $$ on `m` és un paràmetre real. 1.1. Determineu els valors de `m` que fan que la funció `f(x)` sigui contínua en tot el seu domini. Justifiqueu la resposta. [1 punt] `\lim_{x\to 0^-} 5e^(2x)=5` `\lim_{x\to 0^+} (x+m)^2+1 =m^2+1` `m^2+1=5 => m^2=4 => m= pm 2` `\lim_{x\to 2^+} 1=1` `\lim_{x\to 2^-} (x+m)^2+1 =(2+m)^2+1` `(2+m)^2+1=1 => (2+m)^2=0 => 2+m=0 =>`
1.2. Feu un esbós de la gràfica de `y = f(x)` per al cas `m = –2`, i calculeu l’àrea delimitada per aquesta gràfica, l’eix `OX` i les rectes `x = –1` i `x = 3`. [1 punt] i) $$ f(x)=\begin{cases} 5 e^{2x} \text{ si } x\le0 \\ \\ (x-2)^2+1 \text{ si } 0 < x < 2 \\ \\ 1 \text{ si } x \le 2 \end{cases} $$ $$ f(x)=\begin{cases} 5 e^{2x} \text{ si } x\le0 \\ \\ x^2-4x+5 \text{ si } 0 < x < 2 \\ \\ 1 \text{ si } x \le 2 \end{cases} $$ El primer tros és una exponencial que va al `(0,5)` i `\lim_{x\to -infty} 5e^(2x)=0` El segon tros és una paràbola amb vèrtex `x_v=-b/(2a)=4/2=2` i `y_v=1` I el tercer troç és una recta horitzontal `y=1`  ii) Cal calcular les tres àrees següents:  `1a-` `A_1=\int_-1^0 5e^(2x) dx=[5/2e^(2x)]_1^0=5/2(1-ne^(-2)) = 2,161661` `u^2` `2a-` `A_2=\int_0^2 (x^2-4x+5) dx = [x^3/3-2x^2+5x]_0^2=(2^3/3-2·2^2+5·2)-0 = 4,666666` `u^2` `3a-` És un rectangle de base `1` i altura `1 =>` `A_3 =1·1=1` `u^2`
1.3. Per a `m = –2`, trobeu un punt on la recta tangent a `y = f(x)` sigui paral·lela a `y = –2x`. Calculeu l’equació d’aquesta recta tangent. [0,5 punts] L'únic punt on la funció és decreixent, `f'(x)<0` és en l'interval del mig. calculem la derivada.
`f(1)=1^2-4·1+5 = 2` Cal trobar l'equació d ela recta que passa pel punt `(1,2)` i té de pendent `-2`
|