(2025-juny TEI-4-4B) Considereu les matrius:
$$
A=\begin{pmatrix}
a&0\\\
1&a^2
\end{pmatrix}
$$
, on a és un paràmetre real, i
$$
B=\begin{pmatrix}
2&0\\\
1&4
\end{pmatrix}
$$

a) Trobeu els valors de `a` que fan que les matrius `A` i `B` commutin. (Dues matrius `A` i `B` commuten si `A B = B A`.)
[0,75 punts]

b) Trobeu els valors de `a` per als quals la matriu `A` és invertible.
[0,75 punts]

c) Trobeu els valors de `a` per als quals `A^(–1) = A`.
[1 punt]


Solució:
    a)
    $$
    A·B=\begin{pmatrix}
    a&0\\\
    1&a^2
    \end{pmatrix}·
    \begin{pmatrix}
    2&0\\\
    1&4
    \end{pmatrix}=
    \begin{pmatrix}
    2a&0\\\
    2+a^2&4a^2
    \end{pmatrix}$$

    $$
    B·A=
    \begin{pmatrix}
    2&0\\\
    1&4
    \end{pmatrix}·
    \begin{pmatrix}
    a&0\\\
    1&a^2
    \end{pmatrix}=
    \begin{pmatrix}
    2a&0\\\
    a+4&4a^2
    \end{pmatrix}
    $$

    Perquè les matrius commutin ha de passar que:

      `2+a^2=a+4`

      `a^2-a-2=0`

      `a=(1 pm\sqrt{(-1)^2-4·(-2)·1})/2=(1 pm\sqrt{9})/2=(1 pm3)/2`

      `a_1=(1+3)/2 = 2`

      `a_2=(1-3)/2 = -1`


    b)
      Perquè la matriu `A` sigui invertible cal que `det(a) ne 0` Calculem el determinat en funció de `a`.

      $$
      \begin{vmatrix}
      a&0\\\
      1&a^2
      \end{vmatrix}=a^3
      $$
      I això només val `0` quan `a=0` per tots els altres valors d'`a` la matriu és invertible




    c)

      Calculem `A^-1`.

      Transposem la matriu:
      $$
      A^t=\begin{pmatrix}
      a&1\\\
      0&a^2
      \end{pmatrix}
      $$
      Calculem la matriu d'adjunts de la transposta.
      $$
      A^{t^*}= \begin{pmatrix}
      a^2&0\\\
      -1&a
      \end{pmatrix}
      $$
      I finalment la dividim pel determinant.
      $$
      A^{-1}= \begin{pmatrix}
      1/a&0\\\
      -1/a^3&1/a^2
      \end{pmatrix}=
      \begin{pmatrix}
      \frac{1}{a}&0\\\
      \frac{-1}{a^3}&\frac{1}{a^2}
      \end{pmatrix}
      $$
      Comprovem que és la inversa (no es demana):
      $$
      A·A^{-1}=
      \begin{pmatrix}
      a&0\\\
      1&a^2
      \end{pmatrix}·
      \begin{pmatrix}
      1/a&0\\\
      -1/a^3&1/a^2
      \end{pmatrix}=
      \begin{pmatrix}
      a/a+0/a&0+0\\\
      1/a-1/a&0+a^2/a^2
      \end{pmatrix}=
      \begin{pmatrix}
      1&0\\\
      0&1
      \end{pmatrix}$$
      Finalment cerquem els valos d'`a` que fan que `A^-1=A`

      $$
      A=A^{-1}<=>
      \begin{pmatrix}
      a&0\\\
      1&a^2
      \end{pmatrix}=
      \begin{pmatrix}
      1/a&0\\\
      -1/a^3&1/a^2
      \end{pmatrix}$$

        `a=1/a => a^2=1 => a=pm1`

        `1=-1/a^3 => a^3=-1 => a=-1`

        `a^2=1/a^2 => a^4=1 => a=pm1`


      L'únic valor que ho compleix tot és:

      `a=-1`