(2025-juny TEI-4-4A) El dissenyador d’una casa de perfums ha decidit que l’ampolla del proper perfum que l’empresa traurà al mercat serà de vidre i tindrà la forma d’un cilindre amb una mitja esfera a la part superior, tal com es pot veure a la figura següent: El perfum estarà contingut a la part cilíndrica, la qual té una capacitat de `100` `cm^3`. L’enginyer a càrrec del procés de producció es proposa minimitzar el cost total del vidre usat i, per tant, vol que la superfície total de l’ampolla sigui mínima. a) Comproveu que la superfície total de l’ampolla de perfum ve donada per la fórmula `S(r)=3 pi r^2+200/r` [1 punt] b) Quines dimensions ha de tenir l’ampolla de perfum perquè la superfície total sigui mínima? Quina és la superfície total de l’ampolla en aquest cas? [1,5 punts] Nota: Recordeu que la superfície d’una esfera ve donada per la fórmula `4 pi r^2`, on `r` és el seu radi. Solució: a) La superfície és la meitat de l'esfera `S_e=(4pir^2)/2=2pir^2` + la del cilíndre, àrea de la base `+` l'àrea lateral: `S_c=pir^2+2pirh` Per la qual cosa la superfície total que caldrà minimitzar és la suma d'ambdues superfícies. `S(r,h)=pir^2+2pir^2+2pirh=3pir^2+2pirh` I ha de complir la condició que el volum del cilindre sigui `100` `cm^3 =>` `V=pir^2h=100 => h=100/(pir^2)` I ens queda la Funció superfície en funció del radi: `S(r)=3pir^2+2pir100/(pir^2)=3pir^2+200/r` b) Per trobar les dimensions que la superfície sigui mínima cal trobar la derivada: `S'(r)=6pir-200/r^2` `6pir-200/r^2=0` `6pir=200/r^2` `r^3=200/(6pi)` `r=\root(3){100/(3pi)}` Per demostrar que es tracta d'un mínim calcularem la segona derivada: `S''(r)=6pi+2·100/r^3=6pi+400/r^3` Que és positiva per qualsevol nombre positiu, en particular per, `r=\root(3){100/(3pi)} =>` Hi ha un mínim. per trobar la superfície cal cercar la imatge a la funció: `S(r)=3pir^2+200/r` en `r=\root(3){100/(3pi)}=2,2` `cm` `S(2,2)=3pi·2,2^2+200/(2,2) = 136,5250` `cm^2`