(2025-juny TEI-4-3) Un usuari d’Internet ha estimat que el `25 %` dels correus electrònics que rep són correu brossa, mentre que la resta no ho són. Per a facilitar la classificació del correu, s’ha instal·lat un filtre que envia a la carpeta de correu brossa el `95 %` dels missatges que efectivament ho són. Malauradament, aquest filtre deixa a la safata d’entrada només el `90 %` dels missatges bons (i la resta els envia a la carpeta de correu brossa).

a) Quina és la probabilitat que un missatge sigui enviat pel filtre a la carpeta de correu brossa?
[0,75 punts]

b) Un dia, aquest usuari obre la carpeta de correu brossa. Quin percentatge de missatges que no són correu brossa hi trobarà?
[0,75 punts]

En un servidor de correu electrònic determinat, la probabilitat de rebre com a mínim dos correus en menys de t minuts ve donada per la funció, `F(t)=\int_0^t Ae^(-0,5x) dx`, on `A` és una constant real.

c) Sabent que la probabilitat de rebre com a mínim dos correus en menys de dos minuts és `1 – e^(–1)`, trobeu el valor de `A`.
[1 punt]



Solució:
    a)
      Anomenen `B` a l'esdeveniment rebre correu brossa, i `bar(B)` a l'esdeveniment rebre un correu no brossa.

      `CB` rebre un correu a la carpeta correu brossa.


    `P(CB|B)=0,95`
    `P(B)=0,25 <`
    `P(bar(CB)|B)= 0,05`
    `<`
    `P(CB|bar(B))=0,10`
    `P(bar(B))= 0,75 <`
    `P(\bar(CB)|bar(B))=0,90`


    `P(CB)=P(B\cap CB)+P(bar(B)\cap CB)=P(B)·P(CB|B)+P(bar(B))·P(CB|bar(B))=`


    `0,25·0,95+0,75·0,10 = 0,3125`



    b)
      `P(bar(B)|CB)=(P(bar(B)\cap CB)) /(P(CB))=(P(bar(B))· P(CB|bar(B))) /(P(CB))=(0,75*0,10)/(0,3125) = 0,24`


      S'hi trobarà un `24%` de correus que no són correu brossa.


    c)
      `F(2)=\int_0^2 Ae^(-0,5x) dx=1-e^(-1)`


      `\int_0^2 Ae^(-0,5x) dx=A[e^(-0,5x)/(-0,5)]_0^2=-2A[e^(-0,5x)]_0^2=-2A(e^(-0,5·2)-e^(-0,5·0))=-2A(e^(-1)-1)=`


      `2A(1-e^(-1))=(1-e^(-1))`


      `2A=1`

      `A=1/2`