(2025-juny TEI-4-2) Considereu el sistema d’equacions
$$
\begin{cases}
x+3y+az=1\\
-2x-6y+2z=2a\\
ax+3y+z=3
\end{cases}
$$

on `a` és un paràmetre real, i siguin `pi_1` el pla determinat per la primera equació, `pi_2` el determinat per la segona, i `pi_3` el determinat per la tercera.

a) Discutiu el sistema en funció del valor de `a`.
[1 punt]

b) Descriviu la posició relativa dels tres plans `pi_1`, `pi_2` i `pi_3` en funció del valor de `a`.
[0,75 punts]

c) En algun cas la intersecció dels tres plans és una recta? En cas afirmatiu, digueu per a quin valor del paràmetre, i doneu un vector director i un punt d’aquesta recta.
[0,75 punts]


Solució:

    a)

      Matriu del sistema, `S`:
      $$
      S=\begin{pmatrix}
      1&3&a\\\
      -2&-6&2\\\
      a&3&1
      \end{pmatrix}
      $$
      Matriu ampliada del sistema, `S'`:
      $$
      S'=\begin{pmatrix}
      1&3&a&1\\\
      -2&-6&2&2a\\\
      a&3&1&3
      \end{pmatrix}
      $$

      Calculem el determinant de `S` per veure quan val `0`. O sigui quan el rang no és `3`.
      $$
      S=\begin{vmatrix}
      1&3&a\\\
      -2&-6&2\\\
      a&3&1
      \end{vmatrix}=-6+6a-6a-(-6a^2+6-6)=6a^2-6=0 => a=\pm 1
      $$

      Quan `a ne 1` ni `a ne -1` El rang de `S=3` Rang `S'=3`, `n=3` (número d'incògnites)


      Sistema compatible deteminat. Tres plans que es tallen en un punt.



      Anem a estudiar què passa pels altres dos valors d'`a`.

      `a=1`
        $$
        \begin{cases}
        x+3y+z=1\\
        -2x-6y+2z=2\\
        x+3y+z=3
        \end{cases}
        $$
        Matriu del sistema
        $$
        S_1=\begin{pmatrix}
        1&3&1\\\
        -2&-6&2\\\
        1&3&1
        \end{pmatrix}
        $$

        $$
        \begin{vmatrix}
        1&3&1\\\
        -2&-6&2\\\
        1&3&1
        \end{vmatrix}=-6+6-6-(-6+6-6) = 0
        $$

        `=>` el rang de `S` no és `3`.

        $$
        \begin{vmatrix}
        1&1\\\
        -2&2
        \end{vmatrix}=1*2-(-2)*1 = 4 \ne 0 =>
        $$

        `=>` Rang `S=2`.

        Anem a calcular el rang de la matriu ampliada, agafem `1a, 3a` i `4a` columnes per cañlcular-hi el determinant.

        $$
        \begin{vmatrix}
        1&1&1\\\
        -2&2&2\\\
        1&1&3
        \end{vmatrix}=1·2·3+1·2*1+1(-2)·1-2·1-1·1·2-1·(-2)·3 = 8 \ne 0 =>
        $$
        => Rang `S'=3`


        Quan `a = 1` El rang de `S=2` Rang `S'=3`, `n=3` (número d'incògnites)


        Sistema incompatible. Com el vector associat de la `1a` i el de la `3a` son el mateix. Aquests són dos plans paral·lels. La `2a` equació és un altre pla que talla als altres dos plans formant amb cadascún sendes rectes.

      `a=-1`
        $$
        \begin{cases}
        x+3y-z=1\\
        -2x-6y+2z=-2\\
        -x+3y+z=3
        \end{cases}
        $$
        Matriu del sistema
        $$
        S_1=\begin{pmatrix}
        1&3&-1\\\
        -2&-6&2\\\
        -1&3&1
        \end{pmatrix}
        $$

        $$
        \begin{vmatrix}
        1&3&-1\\\
        -2&-6&2\\\
        -1&3&1
        \end{vmatrix}=-6-6+6-(-6+6-6) = 0
        $$

        `=>` el rang de `S` no és `3`.

        Agafem la `1a` i `2a` columnes i la `1a` i `3a` fila per calcular el determinant `2x2`, ja que la `2a` fila és la `1a` per `-2`
        $$
        \begin{vmatrix}
        1&3\\\
        -1&3
        \end{vmatrix}=1·3-(-1)·3 = 6 \ne 0 =>
        $$

        `=>` Rang `S=2`.

        Anem a calcular el rang de la matriu ampliada, agafem `1a, 2a` i `4a` columnes per cañlcular-hi el determinant.

        $$
        \begin{vmatrix}
        1&3&1\\\
        -2&-6&-2\\\
        -1&3&3
        \end{vmatrix}=-18+6-6-(6-6-18) = 0 =>
        $$
        => Rang `S'=2`


        Quan `a = -1` El rang de `S=2` Rang `S'=2`, `n=3` (número d'incògnites)


        Sistema compatible indeterminat. Com l'equació `1a` i la `2a` són poporcionals. Tres plans que es tallen en una recta



    b)

      L'apartat b l'hem contestat abans, però ho tornem a escriure:

    • Quan `a ne 1` ni `a ne -1` El rang de `S=3` Rang `S'=3`, `n=3` (número d'incògnites)

      Sistema compatible deteminat. Tres plans que es tallen en un punt.


    • Quan `a = 1` El rang de `S=2` Rang `S'=3`, `n=3` (número d'incògnites)

      Sistema incompatible. Com el vector associat de la `1a` i el de la `3a` son el mateix. Aquests són dos plans paral·lels. La `2a` equació és un altre pla que talla als altres dos plans formant amb cadascún sendes rectes.


    • Quan `a = -1` El rang de `S=2` Rang `S'=2`, `n=3` (número d'incògnites)

      Sistema compatible indeterminat. Com l'equació `1a` i la `2a` són poporcionals. Tres plans que es tallen en una recta


    c)

    • Quan `a = -1` El rang de `S=2` Rang `S'=2`, `n=3` (número d'incògnites)

      Sistema compatible indeterminat. Com l'equació `1a` i la `2a` són poporcionals. Tres plans que es tallen en una recta

      $$
      \begin{cases}
      x+3y-z=1\\
      -x+3y+z=3
      \end{cases}
      $$

      Si sumem les dues equacions:

      `6y=4 => y=2/3`
      $$
      \begin{cases}
      x+3y-z=1\\
      y=2/3\\
      z=\lambda
      \end{cases}
      $$

      `x+3·2/3-lambda=1`

      `x+2-lambda=1`

      `x=-1+lambda`
      $$
      \begin{cases}
      x=-1+\lambda\\
      y=2/3\\
      z=\lambda
      \end{cases}
      $$

      `(x,y,z)=(-1,2/3,0)+lambda(1,0,1)`


      vector director `=(1,0,1)` i punt `=(-1,2/3,0)`