(2025-juny TEI-4-1) Considereu la funció `f(x)=+\sqrt{1+x^3}`. a) Indiqueu el domini d’aquesta funció i els talls de la corba `y = f(x)` amb els eixos de coordenades. [0,5 punts] b) Resoleu l’equació `f'(x) = 0` i estudieu les zones de creixement i decreixement de la funció `f(x)`, així com els seus màxims i mínims locals. [1 punt] c) Trobeu quin ha de ser el valor de `a` per tal que el punt `(a, 3)` pertanyi a la gràfica de la funció i calculeu l’equació de la recta tangent a la corba `y = f(x)` en aquest punt. [1 punt] Solució: a) Com és una arrel quadrada aquesta només està definida quan lo de dins és `>=0 =>` `1+x^3>=0` `x^3>=-1` `x>=\root(3){-1} => x>=-1` Domini `[-1,+infty)` Per trobar els punts de tall amb l'eix `x` cal resoldre: `+\sqrt{1+x^3}=0` `1+x^3=0` `x^3=-1` `x=\root(3){-1}=-1` Punt de tall eix `x`, `(-1,0)` Per trobar el punt de tall amb l'eix `y` només cal calcular la imatge de `x=0 => f(0)=\sqrt{1+0^3}=\sqrt{1}=1` Tall eix `y`, `(0,1)` b) `f'(x)=1/2(3x^2)/\sqrt{1+x^3}` `3/2(x^2)/\sqrt{1+x^3}=0 => x^2=0 => x=0` Per trobar on creix i on decreix cal cercar on la funció derivada és positiva i on és negativa: `3/2(x^2)/\sqrt{1+x^3}>0` El numerador sempre és positiu, excepte `x=0`, i el denominador, també sempre és positiu ja que `x> -1` per la qual cosa la funció sempre és creixent en tots els punts del domini. Creixent, `[-1, +infty)` Com la funció sempre és creixent no hi ha ni màxims ni mínims locals. c) `f(a)=+\sqrt{1+a^3}=3` `1+a^3=9` `a^3=8` `a=\root(3){8}=2` `(a,3)=(2,3)` Per trobar l'equació de la recta tangent cal trobar la derivada en el punt, `x=\sqrt{8}` i tindrem el pendent. `3/2(2^2)/\sqrt{1+2^3}=6/\sqrt{9}=2` Finalment l'equació de la recta tangent: `y-3=2(x-2)` `y=2x-4+3` `y=2x-1` El problema no ho demana, però el dibuix de la gràfica és: (en el punt `x=0` on hi havia un candidat a ser extrem local i no n'hi ha per ser la funció creixent tant a l'esquerra com a la dreta, hi ha un punt d'inflexió.