(2025-juny-1-3) Una empresa produeix dos tipus de peces, de ferro i d’acer. El `60 %` de la producció total correspon a peces de ferro i la resta són d’acer. Sabem que el `95 %` de les peces de ferro produïdes no tenen cap defecte, mentre que el `3 %` de les peces d’acer són defectuoses. a) Si agafem una peça a l’atzar, quina és la probabilitat que sigui defectuosa? [0,75 punts] b ) L’empresa aviat diversificarà la producció i començarà a produir també peces de titani, que es vendran en paquets de `5`. Si la probabilitat que una peça de titani sigui defectuosa és un valor desconegut `p`, i cada peça és defectuosa independentment de les altres, comproveu que l’expressió que ens dona la probabilitat que en un paquet de `5` peces n’hi hagi exactament `4` de defectuoses (en funció de `p`) és `f(p) = 5(p^4 – p^5)`. [0,75 punts] c) Considereu la funció `f(p)` de l’apartat anterior. Determineu el valor màxim que pren `f(p)` quan `p >= 0`. [1 punt] Solució: a) Sigui `F` l'esdeveniment ser peça de ferro i `C` l'esdeveniment ser peça d'acer. I `D` l'esdeveniment ser peça defectuosa `P(F)=0,60` i `P(A)=0,40` `P(D|F)=0,05` `P(F)=0,60 <` `P(bar(D)|F)= 0,95` `<` `P(D|A)=0,03` `P(A)= 0,40 <` `P(\bar(D)|A)=0,97` `P(D)=P(F \cap D)+ P(A \cap D)=P(F)·P(D|F)+P(A)·P(D|A)=0,6*0.05+0,4*0,03 = 0,042` b) Això és una binomial $$P(k)= {n \choose k}p^k·(1-p)^{n-k}$$ On `p` és desconegut `n=5`i `k=5` $$P(4)= {5 \choose 4}p^4·(1-p)^1$$ $$p= 5·p^4·(1-p)$$ $$p= 5·(p^4-p^5)$$ c) `f(p) = 5(p^4 - p^5)` `f'(p) = 5(4p^3 – 5p^4)` `5(4p^3 – 5p^4)=0` `p^3(4 – 5p)=0` `p^3=0 => p=0` `4 – 5p=0 => p=4/5` Per veure on és el màxim, calculem la segona derivada: `f''(p) = 5(12p^2 – 20p^3)` Que si ho substituïm per `p=4/5 => f''(4/5) = 5*[12*(4/5)^2-20*(4/5)^3] = -12,8<0 =>` màxim. Per veure que és el màxim absoluit a l'interval on està definida una probabilitat `[0,1]` cerquem les imatges als extrems: Cerquem la seva imatge `f(4/5)=5[(4/5)^4-(4/5)^5] = 0,4096` `f(0)=5(0^4-0^5)=0` i `f(1)=5(1^4-1^5)=0` En resum és màxim està a: `p=4/5` i `f(4/5)=5[(4/5)^4-(4/5)^5] = 0,4096` Afegim: Com no hi ha cap mínim i la funció és contínua, el punt trobat és el màxim absolut, ja que perquè hi hagués un valor més gran la funció hauria de passar a creixent i necessitaréim que hi hagués un mínim. Podem tenir curiositat de què passa en el punt `p=0` A `p=0`, `f''(0)=0` Calculem la tercera derivada, `f'''(x)=5(24p-60p^2)` que torna a donar `0`. Anem per la `4a`. `f''''(x)=5(24p-60p^2)` anem per la `5a`, `f'''''(x)=5(25-120p)` que fa que `f''''(0)=125 \ne 0 =>` Punt d'inflexió,ja que la derivada diferent de `0` és imparell. El problema no ho demana, però podem veure el dibuix de la gràfica: