PAU Matemàtiques Setembre 2023 Notes a les solucions: En negre hi ha els enunciats. En blau la resolució. En verd annexos que, creiem, amplien el valor de les solucions dels exercicis, però no formen part de la solució i ni molt menys call fer-los en la prova real. Qualsevol error, suggeriment o comentari podeu enviar-lo a jlagares@xtec.cat. 1-Siguin $$ A=\begin{pmatrix} 2&1\\\ 3&2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2&-1\\\ -3&2 \end{pmatrix} $$ i la matriu identitat d'ordre dos $$ I=\begin{pmatrix} 1&0\\\ 0&1 \end{pmatrix} $$ a) Comproveu que `(A-2I)^2=3I` [0,5 punts] Solució: $$ A-2I=\begin{pmatrix} 2&1\\\ 3&2 \end{pmatrix}- 2\begin{pmatrix} 1&0\\\ 0&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2&1\\\ 3&2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -2&0\\\ 0&-2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&1\\\ 3&0 \end{pmatrix} $$ $$ (A-2I)^2=\begin{pmatrix} 0&1\\\ 3&0 \end{pmatrix}· \begin{pmatrix} 0&1\\\ 3&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3&0\\\ 0&3 \end{pmatrix}=3I $$ b) Utilitzant la igualtat de l’apartat anterior, trobeu la matriu inversa de la matriu `A` en funció de les matrius `A` i `I`, i comproveu que coincideix amb la matriu `B`. [1,25 punts] Solució: `(A-2I)^2=3I` `(A-2I)·(A-2I)=3I` `A^2-2IA-A2I+2I2I=3I` `A^2-4A+4I=3I` `A^2-4A=3I-4I` `A^2-4A=-I` `4A-A^2=I` `(4I-A)A=I` `A^(-1)=4I-A` $$ 4I-A=\begin{pmatrix} 4&0\\\ 0&4 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2&1\\\ 3&2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2&-1\\\ -3&2 \end{pmatrix} $$ c) Calculeu la matriu `X` que satisfà la igualtat `A · X = B`. [0,75 punts] Solució: `A·X=B` `A^(-1)·A·X=A^(-1)·B` `X=A^(-1)·B` `X=B·B` $$ X=B^2=\begin{pmatrix} 2&-1\\\ -3&2 \end{pmatrix}· \begin{pmatrix} 2&-1\\\ -3&2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 7&-4\\\ -12&7 \end{pmatrix} $$ 2-Sigui la funció `f(x)=1/x`. a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció `f` en el punt d’abscissa `x = 2`. [0,75 punts] Solució: Per calcular l'equació de la recta tangent en un punt cal un punt `(2,1/2)` i el pendent que el trobarem calculant la derivada en el punt `x=2`. `f'(x)=-1/x^2` que en el punt `f'(2)=-1/4` Per trobar l'equació de la recta tangent ho podem fer amb la punt pendent, `y-y_0=m(x-x_0)` `y-1/2=-1/4(x-2)` `y-1/2=-x/4+1/2` `y=-x/4+1/2+1/2` `y=-x/4+1` ANNEX: Tot i no ser obligatori us mostrem la gràfica de la funció juntament amb la recta tangent demanada: b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció `f` en el punt d’abscissa `x = k`, en què `k` és un nombre real positiu. [0,75 punts] Solució: Cal fer el mateix que hem fet abans, però en lloc de `x=2` posar `x=k`. El punt és `(k,1/k)` i `m=-1/k^2` L'equació punt pendent serà: `y-1/k=-1/k^2(x-k)` Si ho volem expressar amb l'equació explícita, com abans: `y-1/k=-x/k^2+1/k` `y=-x/k^2+1/k+1/k` `y=-x/k^2+2/k` c) Comproveu que, tal com es pot veure en la figura de sota, la recta de l’apartat `b` determina un triangle d’àrea constant amb els semieixos positius de coordenades. Calculeu aquesta àrea. [1 punt] Solució: Cal trobar la base, `b` i l'altura, `a`, per poder calcular l'àrea. Son els punts de tall amb els eixos Per trobar `a` cal trobar la imatge de `x=0 => a=-0/k^2+2/k=2/k` Per trobar, `b` cal trobar el punt de tall amb l'eix de les `x => y=0 =>` `0=-x/k^2+2/k` `x/k^2=2/k` `x=2k^2/k` `x=2k => b=2k` Finalment per trobar l'àrea del triangle només cal multiplicar la base · l'altura i dividir-ho per `2`. Àrea `= (2k·2/k)/2 = 2` unitats quadrades I comprovem que no depèn del punt `k` triat. 3-Sigui el sistema d’equacions lineals , en què `m` és un nombre real. $$ \begin{cases} 2x+y=1+z\\ my+z=2-x\\ mz+3=3x+y \end{cases} $$ a) Discutiu el sistema segons els valors del paràmetre `m`. [1,25 punts] Solució: Cal calcular el rang de la matriu del sistema `M` i el de la matriu ampliada, `M'`, en funció d'`m`. Primer arreglarem el sistema: $$ \begin{cases} 2x+y-z=1\\ x+my+z=2\\ -3x-y+mz=-3 \end{cases} $$ $$ M=\begin{pmatrix} 2&1&-1\\\ 1&m&1\\\ -3&-1&m \end{pmatrix} $$ $$ Det(M)=\begin{vmatrix} 2&1&-1\\\ 1&m&1\\\ -3&-1&m \end{vmatrix}= 2m^2-3+1-(3m+m-2)=2m^2-4m $$ Cal resoldre aquesta equació: `2m^2-4m=0` `2m(m-2)` Que té dues solucions `m=0` i `m=2` Cas `m ne 2` i `m ne 0` Rang `M=3 =` Rang `M'=3` que implica, ja que són iguals i iguals al nombre d'incògnites, Sistema compatible determinat. Cas `m=0`. Calculem el determinant `2·2` $$ \begin{vmatrix} 2&1\\\ 1&0 \end{vmatrix}=-1 \ne 0 $$ O sigui el rang de `M = 2`. Orlem amb la matriu per calcular el rang de la matriu ampliada i només podem fer-ho amb les dues primeres columnes i la formada pels termes independents. Cal calcular el determinant d'aquesta matriu: $$ \begin{vmatrix} 2&1&1\\\ 1&0&2\\\ -3&-1&-3 \end{vmatrix}=0-6-1-(0-4-3)=-7+7=0 $$ El determinat d'aquesta matriu és `0` (cas `m=0`), la qual cosa fa que el rang de la matriu ampliada sigui `2` i gual que la matriu del sistema. Tot això implica que: Si `m=0` Rang `M=2 =` Rang `M'=2` i com el número d'incògnites és `3>2 =>` Sistema compatible indeterminat. Cas `m=2` procedim igual que abans, primer calculem el determinant de la primer matriu `2·2` $$ \begin{vmatrix} 2&1\\\ 1&2 \end{vmatrix}=4-1=3 \ne 0 $$ O sigui el rang de `M = 2`. Orlem amb la matriu per calcular el rang de la matriu ampliada i només podem fer-ho amb les dues primeres columnes i la formada pels termes independents. Cal calcular el determinant d'aquesta matriu: $$ \begin{vmatrix} 2&1&1\\\ 1&2&2\\\ -3&-1&-3 \end{vmatrix}=-12-6-1-(-6-4-3)=-19+13=-6 \ne0 $$ Això fa que el determinant de `M' ne 0` (cas `m=2`) i això implica que el Rang `M'=3` Si `m=2` Rang `M=2 ne` Rang `M'=3` Rangs diferents, implica, Sistema incompatible. b) Resoleu el sistema, si té solució, per al cas `m = 1`. [1,25 punts] Solució: Si `m=1` és diferent de `0` i `2` implica que el sistema serà compatible i dpodem resoldre'l de la marea que volguem, Cramer, substitució, Gauss, ... Aquí ho farem per Gauss. $$ \begin{cases} 2x+y-z=1\\ x+y+z=2\\ -3x-y+z=-3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x+y+z=2\\ 2x+y-z=1\\ -3x-y+z=-3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x+y+z=2\\ -y-3z=-3\\ 2y+4z=3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x+y+z=2\\ y+3z=3\\ 2y+4z=3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x+y+z=2\\ y+3z=3\\ -2z=-3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x+y+z=2\\ y+3z=3\\ z=3/2 \end{cases} $$ `y+3·3/2=3` `y+9/2=3` `y=-9/2+3` `y=-3/2` Anem a la primera equació `x+y+z=2`: `x-3/2+3/2=2` `x=2` `x=2, y=-3/2, z=3/2` 4-Sigui la funció `f(x)` definida per `f(x) = –3x + e^(2x^(3)-1)`. a) Justifiqueu que `f(x) = 2` té una solució en l’interval `(–1, 0)`. [1,25 punts] Solució: Volem resoldre l'equació: `–3x + e^(2x^(3)-1)=2` que és el mateix que `g(x)=–3x + e^(2x^(3)-1)-2=0` Anem a veure quins valors agafa aquesta funció en els extrems de l'interval: `g(1)=-3·1+e^(2-1)=-3+e<0` `g(0)=-3·0+e^(-1)=e^(-1)>0` Com `g(x)` és una funció contínua (ja que és suma de funcions contínues) i en els extrems d'un interval la funció agafa signes diferents, pel teorema de Bolzano, en aquest interval la funció ha de tenir, com a mínim, un `0 => f(x)=2` té com a mínim una solució. b) Sigui la funció `h(x) = –3x^2 + e^(2x^(3)–1)`. Calculeu l’àrea de la regió compresa entre les gràfiques de les funcions `f(x)` i `h(x)`. [1,25 punts] Solució: Cal trobar els punts de tall de les dues funcions: `–3x + e^(2x^(3)-1)=–3x^2 + e^(2x^(3)–1)` `-3x=-3x^2` `3x^2-3x=0` `3x(x-1)=0` Dues solucions `x=0` i `x=1` Per trobar l'àrea compresa entre les dues funcions cal trobar la integral definida entre els dos punts de tall de la funció diferència de les dues funcions. Si el resultat ens dona negatiu vol dir que hem restat l'inferior menys la superior i cal dir que l'àrea és el valor absolut. `f(x)-g(x)=–3x + e^(2x^(3)-1)-(–3x^2 + e^(2x^(3)–1)) = 3x^2-3x` Àrea `=|\int_0^1 (3x^2-3x) dx| = |[x^3-3/2x^2]_0^1| = |1^3-3/2·1^2-0| = |1-3/2|= |-1/2|=1/2 u^2` ANNEX: Tot i no ser obligatori us mostrem la gràfica de les dues funcions amb l'àrea indicada: 5-Siguin `r_1` i `r_2` les rectes definides per `r_1: x – 1 = y = –z` i per `r_2: x = y = z`, respectivament. a) Calculeu l’equació paramètrica de la recta que talla perpendicularment les rectes `r_1` i `r_2`. [1,75 punts] Solució: Tenim les dues equacions de les rectes en forma contínua. és senzill trobar-ne les equacions vectorials i paramètriques: `r_1: (x – 1)/1 = (y-0)/1 = (z-0)/(-1)` `r_1: (x,y,z)=(1,0,0)+(1,1,-1)lambda =(1+lambda, lambda, -lambda)` `r_2: (x – 0)/1 = (y-0)/1 = (z-0)/1` `r_2: (x,y,z)=(0,0,0)+(1,1,1)mu=(mu,mu,mu)` Nosaltres cerquem un vector que vagi d'un punt d'una recta aun punt de l'altra i sigui perpendicular a cadascun dels vectors directors. `\vec{PQ} = (mu,mu,mu)-(1+lambda, lambda, -lambda)=(mu-lambda-1,mu-lambda, mu+lambda)` Fem el producte escalar amb cadascun dels vectors directors i el resultat ha de donar `0`. `(mu-lambda-1,mu-lambda, mu+lambda)·(1,1,-1)=mu-lambda-1+mu-lambda-mu-lambda=mu-3lambda-1=0` `(mu-lambda-1,mu-lambda, mu+lambda)·(1,1,1)=mu-lambda-1+mu-lambda+mu+lambda=3mu-lambda-1=0` Que defineix un sistema amb que trobarem, `lambda` i `mu`, o sigui els dos punts de cadascuna de les dues rectes- $$ \begin{cases} \mu-3\lambda=1\\ 3\mu-\lambda=1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -3\mu+9\lambda=-3\\ 3\mu-\lambda=1 \end{cases} $$ `8lambda=-2 => lambda = -1/4` $$ \begin{cases} \mu-3\lambda=1\\ -9\mu+3\lambda=-3 \end{cases} $$ `-8mu=-2 => mu = 1/4` `P=(mu,mu,mu)=(1/4,1/4,1/4)` i `Q=(1+lambda, lambda,-lambda)=(1-1/4,-1/4,1/4)=(3/4,-1/4,1/4)` O sigui, el vector, `\vec{PQ}=(1/4,1/4,1/4)-(3/4,-1/4,1/4)=(-2/4,2/4,0)=(-1/2,1/2,0)` La recta que passi per qualsevol dels dos punts, `P` o `Q` i tingui com a vector director aquest vector `\vec{PQ}` passarà per ambdues rectes i en serà perpendicular a totes dues.. Per la qual cosa l'equació d ela recta demanada pot ser la que passa per `P` i té com a vector director `\vec{PQ}`. `(x,y,z)=(1/4,1/4,1/4)+nu(-1/2,1/2,0)=(1/4-nu/2,1/4+nu/2,1/4)` ANNEX: Podriem haver agafat un vector director proporcional al que tenim, per exemple `(-1,1,0)` i ens donaria una altra expressió de l'equació de la recta: `(x,y,z)=(1/4,1/4,1/4)+nu(-1,1,0)=(1/4-nu,1/4+nu,1/4)` b) Calculeu la distància entre `r_1` i `r_2`. [0,75 punts] Solució: Dues maneres: 1-Si hem fet l'apartat a senzillamant cal que calculem el mòdul del ventor perpendicular a ambdues rectes: `|\vec{PQ}|=|(-1/2,1/2,0)|=\sqrt{(-1/2)^2+(1/2)^2+0^2}=\sqrt{2/4}=\sqrt{2}/2` `u` 2-Podem fer servir la fórmula que ens dona la distància entre dues rectes `D=(|\vec{PQ}·(\vec{a}times \vec{b})|)/(|\vec{a} times \vec{b}|)` On `P` i `Q` són els vectors de posició de les dues rectes i `\vec{a}` i `\vec{b}` els vectors directors. `\vec{PQ}=(1,0,0)-(0,0,0)=(1,0,0)` `\vec{a}=(1,1,-1)` i `\vec{b}=(1,1,1)` $$ \vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix} i&j&k\\\ 1&1&-1\\\ 1&1&1 \end{vmatrix}=2i-2j+0k=(2,2,0) $$ `|\vec{PQ}·(\vec{a}times \vec{b})|=|(1,0,0)·(2,2,0)|=2` `|\vec{a} times \vec{b}|=|(2,2,0)|=\sqrt{2^2+2^2+0^2}=\sqrt{8}` `D=2/\sqrt{8}=(2\sqrt{8})/8=\sqrt{8}/4=\sqrt{4·2}/4=2\sqrt{2}/4=\sqrt{2}/2` `u` 6-Volem construir una peça metàl·lica que tingui per secció un trapezi isòsceles amb la base superior tres vegades més llarga que la base inferior. Els altres costats del trapezi fan `10` mm, tal com podeu observar en la figura següent: a) Expresseu l’altura del trapezi en funció de la longitud `x` de la base inferior. [0,5 punts] Solució: Fixeu-vos que tenim un triangle rectangle que ha de complir el teorema de Pitàgores `a^2+x^2=10^2` `a=\sqrt{100-x^2}` b) Calculeu la longitud de la base inferior del trapezi de manera que l’àrea de la peça sigui màxima i trobeu el valor d’aquesta àrea màxima. [2 punts] Solució: Àrea trapeci `A(x)=(a·(B+b))/2 = (a·(3x+x))/2=(a·4x)/2= a·2x= x·\sqrt{100-x^2}=2x·\sqrt{100-x^2}` Per trobar el màxim cal trobar quan la derivada val `0`. `A'(x)=2\sqrt{100-x^2}+2x·1/2·(-2x)/\sqrt{100-x^2}=2\sqrt{100-x^2}-(2x^2)/\sqrt{100-x^2}=0` `2\sqrt{100-x^2}-(2x^2)/\sqrt{100-x^2}=0` `\sqrt{100-x^2}=x^2/\sqrt{100-x^2}` `100-x^2=x^2` `100=2x^2` `50=x^2` `x=+-\sqrt{50}` Que evidentment la solució negativa no té cap sentit `=> x=\sqrt{50}` L'altura val `a=\sqrt{100-x^2}=\sqrt{100-\sqrt{50}^2}=\sqrt{100-50}=\sqrt{50}` L'àrea demanada és `A=(a·2x)=(\sqrt{50}·2\sqrt{50})=2·50=100` `mm^2` Per demostrar que això és un màxim podem trobar el valor de l'àrea en dos punts, un a l'esquerra i l'altre a la dreta, `x=\sqrt{50} \approx 7,071067`. A l'esquerra `x=0` i a la dreta `x=10`. `A(x)=2x·\sqrt{100-x^2} => A(0)=0·\sqrt{100}=0 i A(10) = 10· \sqrt{100-100}=0` Que evidentment són àrees més petites que la que val `100`. Per la qual cosa en `x=\sqrt{50}` l'àrea té un màxim.