Matemàtiques - 1r BAT - Prova, Límits, Composta, Inversa


1-Calcula els següents límits. 10'.

    a) `lim (-2n^2+n-3)/(1-n)`


    SOLUCIÓ:

      Quocient de dos polinomis. Grau de dalt > grau de baix `=> +\infty`



    b) `lim(root(3){n^4+1}-n)/(root(6){2n^8+n+1})`


    SOLUCIÓ:

      Els graus més grans del numerador i el denominador són:

      `lim(root(3){n^4})/(root(6){2n^8})=lim(root(3){n^4})/(root(6){2}·root(6){n^8})=lim(root(3){n^4})/(root(6){2}·root(3){n^4})=1/(root(6){2})`



    c) `lim (n^3/(n^2-1)-n^2/(n+1))`


    SOLUCIÓ:

      `+\infty-\infty`


      `lim (n^3/(n^2-1)-n^2/(n+1))=lim (n^3/(n^2-1)-(n^2·(n-1))/((n+1)·(n-1)))=lim (n^3/(n^2-1)-(n^3-n^2)/(n^2-1))=`



      `lim n^2/(n^2-1)=1`








2-Calcula els següents límits. 20'.

    a) `lim ((2n-1)/(3n+4))^((1+n^2)/(n))`


    SOLUCIÓ:

      `(2/3)^(+\infty)=0`



    b) `lim(n-sqrt(n^2-4n))`


    SOLUCIÓ:

      `+\infty-\infty`


      `lim(n-sqrt(n^2-4n))=lim((n-sqrt(n^2-4n))·(n+sqrt(n^2-4n))/(n+sqrt(n^2-4n)))=lim((n^2-(sqrt(n^2-4n))^2)/(n+sqrt(n^2-4n)))=`



      `lim((n^2-(n^2-4n))/(n+sqrt(n^2-4n)))=lim((n^2-n^2+4n)/(n+sqrt(n^2-4n)))=lim((4n)/(n+sqrt(n^2-4n)))=lim((4n)/(n+sqrt(n^2)))=lim((4n)/(2n))=4/2=2`



    c) `lim ((1+3n)/(4+3n))^n`


    SOLUCIÓ:

      `1^(+\infty)`


      `lim (1+(1+3n)/(4+3n)-1)^n=lim (1+(1+3n)/(4+3n)-(4+3n)/(4+3n))^n=lim (1+(-3)/(4+3n))^n=`



      `lim (1+1/((4+3n)/(-3)))^n=lim (1+1/((4+3n)/(-3)))^((4+3n)/(-3)·(-3)/(4+3n)·n)=lim ((1+1/((4+3n)/(-3)))^((4+3n)/(-3)))^((-3n)/(4+3n))=e^(-1)=1/e`








3-Si `f(x)=(2-3x)/(1-x)` i `g(x)=(x+3)/(x+1)`, calcula `f(g(x))` i `g(f(x))`. 15'.


SOLUCIÓ:

    `f(g(x))=(2-3((x+3)/(x+1)))/(1-((x+3)/(x+1)))=((2x+2)/(x+1)-(3x+9)/(x+1))/((x+1)/(x+1)-(x+3)/(x+1))=((-x-7)/(x+1))/((-2)/(x+1))=(-x-7)/(-2)=(x+7)/2`



    `g(f(x))=(((2-3x)/(1-x))+3)/(((2-3x)/(1-x))+1)=((2-3x)/(1-x)+(3-3x)/(1-x))/((2-3x)/(1-x)+(1-x)/(1-x))=((5-6x)/(1-x))/((3-4x)/(1-x))=(5-6x)/(3-4x)`








4-a) Si `f(x)=(2-3x)/(1-x)`, calcula `f^(-1)(x)`


b)Comprova que `f(f^(-1)(x))=x`. 15'.


SOLUCIÓ:

    a)

    `x=(2-3y)/(1-y)`


    `x·(1-y)=(2-3y)`


    `x-xy=2-3y`


    `3y-xy=2-x`


    `(3-x)y=2-x`


    `y^(-1)=(2-x)/(3-x)`



    b)

    `f(f^(-1)(x))=(2-3((2-x)/(3-x)))/(1-((2-x)/(3-x)))=((6-2x)/(3-x)-(6-3x)/(3-x))/((3-x)/(3-x)-(2-x)/(3-x))=(x/(3-x))/(1/(3-x))=x`