|
És el lloc geomètric dels punts del pla tals que la diferència de les seves distàncies a dos punts fixos anomenats focus, és constant. Aquesta constant en direm `2a`.  La diferència de les distàncies `= 2a` La distància de `(c,0)` a `(x,y)= sqrt((x-c)^2+y^2)` La distància de `(-c,0)` a `(x,y)= sqrt((x+c)^2+y^2)` Aïllem una arrel quadrada, de manera que no ens quedi una suma d'arrels quadrades quan ho elevem tot al quadrat. `sqrt((x+c)^2+y^2)=2a+sqrt((x-c)^2+y^2)` Tot elevat al quadrat `(x+c)^2+y^2=4a^2+2·2a·sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2` `x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2+4a·sqrt((x-c)^2+y^2)+x^2-2cx+c^2+y^2` Treiem el que és igual a cada costat de l'equació. `2cx=4a^2+4a·sqrt((x-c)^2+y^2)-2cx` Deixem sola l'arrel en un costat. `-4a·sqrt((x-c)^2+y^2)=4a^2-4cx` `-sqrt((x-c)^2+y^2)=(4a^2-4cx)/(4a)` `-sqrt((x-c)^2+y^2)=a-(cx)/a` Ho elevem tot al quadrat. `(x-c)^2+y^2=(a-(cx)/a)^2` `x^2-2cx+c^2+y^2=a^2-2cx+((cx)/a)^2` `x^2+c^2+y^2=a^2+(c^2x^2)/a^2` `x^2-(c^2x^2)/a^2+y^2=a^2-c^2` `(1-c^2/a^2)x^2+y^2=a^2-c^2` `((a^2-c^2)/a^2)x^2+y^2=a^2-c^2` Ho dividim tot per `a^2-c^2` `x^2/a^2+y^2/(a^2-c^2)=1` Si mirem el dibuix veiem que `c` és la distància del focus a l'origen i `a` és la distància del punt de tall de la hipèrbola amb l'eix de les x i l'origen `=> c>a` per la qual cosa definim `b^2=c^2-a^2 => -b^2=a^2-c^2` `x^2/a^2+y^2/(-b^2)=1` Que és l'equació de la hipèrbola centrada a l'origen de coordenades. |